Komplexe Zahlen in der Quantenmechanik und in der speziellen Relativitätstheorie

Gibt es eine physikalische Beziehung zwischen der Verwendung komplexer Zahlen für die Wellenfunktion in der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik und in der speziellen Relativitätstheorie (wie sie in der Umgebung des Minkowski-Raums formuliert ist)?

Oder sind es nur zwei verschiedene Theorien, die zufällig denselben mathematischen Trick verwenden?

Es ist nicht wirklich ein mathematischer Trick, sondern die tiefe mathematische Verbindung zwischen Rotationen und komplexen Zahlen, die es bewirkt. Wir verwenden übrigens keine komplexen Zahlen mehr in der Relativitätstheorie. Dieser Ansatz wurde durch die Verwendung von Metriken und Differentialgeometrie ersetzt.
Komplexe Zahlen sind in der Regel nützlich, wenn einer der Freiheitsgrade als Phase behandelt werden kann, da eine komplexe Zahl in Polarform natürlich eine Phase codiert. Dies ist in der Quantenmechanik, Optik und elektrischen Schaltungen nützlich, aber weniger unmittelbar in GR anwendbar.
@CuriousOne könntest du bitte diese mathematische Verbindung erläutern? Ich würde wirklich gerne etwas darüber wissen (ja! Ich dachte immer, es wäre nur ein ausgefallener Trick der Mathematiker):)
Haben Sie en.wikipedia.org/wiki/Complex_number gelesen ? Die Phasor-Darstellung sollte ziemlich allgemein bekannt sein.
@JohnRennie: Können wir nicht eine Phase in der speziellen Relativitätstheorie einführen als θ = Tanh − 1 ( v / C ) ? Gibt es eine physikalische Beziehung zwischen dieser Phase und der Phase in der Quantenmechanik?
@Bob: Die Schnelligkeit ist ein Winkel, aber ich bin mir nicht sicher, ob es sinnvoll ist, sie als Phase zu betrachten. Wenn Sie eine solche Anwendung kennen, dann rufen Sie bitte.
@JohnRennie: Vielleicht ist dieser Abschnitt eines Wikipedia-Artikels eine solche Anwendung. Aber ich muss zugeben, dass ich die technischen Details nicht gut verstehe. Jedes Licht, das Sie strahlen können, ist willkommen?
Lesen Sie „An Imaginary Tale: The Story of i“ von Paul Nahin. amazon.com/Paul-J.-Nahin/e/B001HCS1XI . Daraus können Sie eine zusätzliche Perspektive auf die Natur imaginärer Zahlen und ihre Verbindung mit physikalischen Systemen gewinnen - ganz zu schweigen von hervorragenden historischen Berichten.

Antworten (3)

Wenn Sie sich auf die Verwendung komplexer Zahlen in dem Sinne beziehen, dass die Raumzeitmetrik unter Verwendung der euklidischen Metrik geschrieben werden kann, jedoch mit an ich in der Zeitkomponente, um das erforderliche Minuszeichen zu erzeugen, dann ist dies eine antiquierte Art, Dinge zu tun, und wurde von der Physikgemeinschaft im Wesentlichen zugunsten des mächtigeren Rahmens der semi-Riemannschen Geometrie aufgegeben.

Auf der anderen Seite ist es nicht ganz so, dass komplexe Zahlen in der Relativitätstheorie nicht nützlich sein können, insbesondere bei der Aufklärung von Verbindungen, die zwischen Relativitätstheorie und Quantenmechanik bestehen.

Das Folgende ist tangential, aber es ist so schön, dass ich bereit bin, negative Stimmen zu riskieren, damit die Leute bestimmten Ideen hierin ausgesetzt werden.

Die Pointe (siehe Ende) wird sein, dass es eine tiefe mathematische Verbindung zwischen der Relativitätstheorie und dem Konzept des "Spins" in der Quantenmechanik gibt, und diese Verbindung hat etwas mit der angemessenen Verwendung komplexer Zahlen in der Relativitätstheorie zu tun, nämlich durch die Berücksichtigung bestimmter mathematischer Zusammenhänge Objekte, die als Gruppen bezeichnet werden, von denen bestimmte natürlicherweise in Form von Matrizen mit komplexen Einträgen beschrieben werden.

Symmetrien in Physik und Relativitätstheorie.

In Physik und Mathematik werden Symmetrien eines Systems in bestimmten Objekten, sogenannten Gruppen, eingekapselt, die uns im Grunde sagen, was wir mit dem System tun können, ohne seine relevante Struktur zu ändern.

Beispielsweise bestehen die Symmetrien des Minkowski-Raums (ohne Parität und Zeitumkehr) aus den Elementen der sogenannten Poincare-Gruppe

P = R 3 , 1 ⋊ S Ö ( 3 , 1 ) + .
Grundsätzlich besteht diese Gruppe aus Boosts, Rotationen und Raumzeit-Translationen.

Nun, aus Gründen, die ich hier nicht erläutern werde (siehe Idee der Deckgruppe ), sollten wir, wenn wir anfangen wollen, darüber nachzudenken, wie diese Symmerien physikalischer Systeme auf Quantensysteme angewendet werden können, „Darstellungen“ von „universellen Deckgruppen“ in Betracht ziehen Symmetriegruppen anstelle der Gruppen selbst. Wenn wir die universelle Deckgruppe der Poincare-Gruppe berechnen, erhalten wir eine Gruppe, die am natürlichsten durch komplexe Matrizen beschrieben wird:

R 3 , 1 ⋊ S L ( 2 , C ) .
Weiterhin endlichdimensionale Darstellungen der Untergruppe S L ( 2 , C ) Geben Sie uns Darstellungen der Dimension 2 S + 1 Wo
S = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , … .
Wenn Sie Quantenmechanik studiert haben (sogar nicht-relativistische), dann sollten Sie diese Zahlen erkennen. Das sind die möglichen Spins von Teilchen!

Mit anderen Worten, das quantenmechanische Konzept des Spins ergibt sich auf mathematisch natürliche Weise, wenn Sie Symmetrien in der speziellen Relativitätstheorie betrachten.

Es gibt hier noch eine Menge mehr zu sagen, aber ich lasse den interessierten Leser selbst nachforschen.

Vielleicht erwähnen Sie Prof. Wigner, der historischen Vollständigkeit halber?

Es gibt keinen allzu großen Zusammenhang, denn die Verwendung komplexer Zahlen in der speziellen Relativitätstheorie ist selbst nur ein physikalisch bedeutungsloser Hack, der oft nicht mehr verwendet wird. 1

In der speziellen Relativitätstheorie haben wir diesen (für manche) ärgerlichen Zeichenunterschied zwischen Zeit und Raum. Die moderne Interpretation ist, dass die (Pseudo-)Metrik einfach nicht positiv definit ist, und das ist in Ordnung. Wir haben

D S 2 = − ( C D T ) 2 + ( D X ) 2 + ( D j ) 2 + ( D z ) 2 ,
Es gibt also echte Kombinationen D T , D X , D j , D z die zu negativen Werten von führen D S 2 .

Irgendwo bemerkte jedoch jemand, dass der Zeichenwechsel in der Zeit verborgen werden kann, indem ein zusätzlicher Faktor von vergraben wird ich in der Definition der Zeitrichtung, seit ( C ich T ) 2 = − ( C T ) 2 . Jetzt haben wir eine ehrliche, positiv-definitive Metrik, die auf "imaginäre Zeit" wirkt. τ = ich T und realer Raum X , j , z :

D S 2 = ( C D ( ich T ) ) 2 + ( D X ) 2 + ( D j ) 2 + ( D z ) 2 = ( C D τ ) 2 + ( D X ) 2 + ( D j ) 2 + ( D z ) 2 ,
also jede Sammlung von echten infinitesimalen Differenzen D τ , D X , D j , D z wird zu einem nichtnegativen Ergebnis führen D S 2 .

Das ist niedlich, aber beachten Sie, dass wir den Großteil der Struktur von nie verwendet haben C . Alles, was wir brauchten, war das Konzept von etwas, dessen Quadrat ist − 1 . Und positive Bestimmtheit funktioniert nur wirklich τ , dh für rein imaginär T . Dass reelle positive Distanzen und reelle positive Zeitintervalle zu Raumzeitintervallen beider Zeichen führen können und sollen, kann man nicht einfach so aus der Welt schaffen. Die spezielle Relativitätstheorie (anders als vielleicht die Quantenmechanik) ist nicht eng mit komplexen Strukturen verbunden.

Außerdem setzt die allgemeine Relativitätstheorie jeder Vorstellung ein Ende, dass komplexe Zahlen die Dinge einfacher machen. Man könnte eine Metrik haben

D S 2 = − ( D T ) 2 + D T D X + ( D X ) 2 + ( D j ) 2 + ( D z ) 2 .
Der T → − ich τ Transformation könnte den ersten Koeffizienten positiv machen, aber der zweite Koeffizient wird komplex. Die Verwendung komplexer Zahlen, nur um ein negatives Vorzeichen zu vermeiden, ist irgendwie sowohl übertrieben als auch selbstzerstörerisch.

1 Zumindest was die Metrik angeht. Siehe die Antwort von joshphysics für eine andere Verwendung komplexer Zahlen.

Man sollte komplexe Zahlen nicht vorschnell als nützlich für das Verständnis der Geometrie der speziellen Relativitätstheorie abtun. Wie Penrose betont hat, wird ein Beobachter des Nachthimmels (der als Riemann-Kugel in Übereinstimmung mit der erweiterten komplexen Ebene durch stereografische Projektion angesehen wird), der sich einer Lorentz-Transformation unterzieht, Sternpositionen sehen, die durch eine Möbius-Transformation (auch bekannt als lineare fraktionale Transformation) von verschoben sind die Riemann-Sphäre. Dies ist wirklich eine tiefe Verbindung zwischen Lorentz-Transformationen und komplexer Geometrie und entspricht der im letzten Beitrag erwähnten Überdeckung von SO(1,3) durch SL(2,C). Siehe zum Beispiel http://www.mathpages.com/rr/s2-06/2-06.htm und http://www.math.wustl.edu/~feres/Math496F15/Math496F15HW02Sol.pdf

Komplexe Zahlen in der Quantenmechanik und in der speziellen Relativitätstheorie
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