Dochtrotation des Propagators in der Quantenmechanik

Mir wurde gesagt, dass die Substitution vorgenommen wird$t\to-i\tau$, oder eine „Dochtrotation“, kann verwendet werden, um den Propagator in imaginärer Zeit zu untersuchen, was einige Probleme erleichtert. Zum Beispiel schlägt diese Quelle vor, dass wir den üblichen Propagator nehmen und eine solche Substitution durchführen:

$$\bar{U}(x_1,0;x_2,\tau)=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\left(\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt'}\right)^2-V(x)\right)\right)|_{t\to -i\tau;dt\to-id\tau}$$ was anscheinend dazu führt: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^\tau d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ Ich verstehe nicht, wie diese Substitution funktioniert - vielleicht mache ich einen dummen mathematischen Fehler. Nehmen Sie die erste Zeile und ersetzen Sie den Integranden durch$dt\to -id\tau$, führe ich einen Faktor von ein$-i$zum Exponenten, der mit dem vorhandenen Faktor von multipliziert wird$i$um 1 zu ergeben. Unter Verwendung der Kettenregel erhalte ich einen Faktor von$1/(-i)^2=-1$auf dem Term der kinetischen Energie und ändert sein Vorzeichen. Und da lasse ich$t\to-i\tau$, ich ändere auch die Obergrenze des Integrals für die Aktion, was mir insgesamt Folgendes gibt: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^{-i\tau} d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ Dies ist fast das richtige Ergebnis, aber ich habe einen Faktor von$-i$an der oberen Grenze des Aktionsintegrals, die meiner Meinung nach durch die Substitution eingeführt werden sollte$t\to-i\tau$- aber das richtige Ergebnis hat das nicht. Ist das irgendwie gleichwertig, oder habe ich einen Fehler gemacht? Warum würde die Variablenänderung die Obergrenze des Integrals nicht beeinflussen?