Ist eine Wick-Rotation eine Koordinatenänderung?

Meinem Verständnis nach geht eine Wick-Rotation von einer Änderung der Koordinaten aus ( T , X ) → ( τ , X ) Wo τ = ich T . Im ( T , X ) Koordinatensystem hat die Minkowski-Metrik Komponenten η μ v = D ich A G ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) . Mit der Formel zur Transformation der Komponenten bei Koordinatenänderung:

η a β = ∂ X μ ∂ X ' a ∂ X v ∂ X ' β η μ v

finden wir in der ( τ , X ) Koordinatensystem hat die Metrik Komponenten η a β = D ich A G ( − 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) .

In Gleichung 25.4 der QFT für den begabten Amateur von Lancaster und Blundell heißt es, dass bei einer Wick-Rotation die Größe eines Vektors gegeben ist durch

X 2 = − X E 2

Wo X ist der Minkowski-Vektor und X E ist der entsprechende euklidische Vektor. Jetzt verwirrt mich diese Aussage, weil die Objekte X Und X E sind Koordinatendarstellungen eines Vektors, sagen wir X , was ein geometrisches Objekt ist, das unabhängig von dem von uns gewählten Koordinatensystem ist, also sollten wir erwarten

| X | 2 = η μ v X μ X v = η a β X E a X E β

mit anderen Worten, die Größe des Vektors X sollte nicht davon abhängen, welches Koordinatensystem wir verwenden. Wie könnte sich also bei einer einfachen Wick-Rotation die Größe eines Vektors ändern?

Ich dachte, vielleicht ist eine Wick-Rotation eine aktive Rotation in die komplexe Ebene, aber das Buch besagt, dass sich die Metrik auch transformiert, sodass wir die euklidische Metrik verwenden können. Wenn wir sowohl den Vektor als auch die Metrik transformieren, deutet dies auf eine Änderung der Koordinaten hin, aber wenn sich nur der Vektor ändert, deutet dies auf eine Art aktive Transformation hin.

Meine Frage

Ist eine Wick-Rotation lediglich eine Koordinatenänderung oder eine aktive Drehung des Vektors in die komplexe Ebene hinein?

Dies ist ein schreckliches Missverständnis, das in "lässigen" Lehrbüchern verbreitet wird ... eine Wick-Rotation ist keine Änderung der Koordinaten. Dochtrotationen haben drastische Folgen, während eine Änderung der Koordinaten, wie Sie richtig anmerken, kaum etwas bewirkt!
Zu sagen, dass eine Wick-Rotation eine Änderung der Koordinaten ist, ist die zweithäufigste und zweitschlechteste Fehlerklärung davon, die erste ist, dass „es eine Substitution ist T → ich T ". Die überwiegende Mehrheit der Bücher behandelt diese völlig grundlegende Sache falsch. Es sollte in Begriffen von rotierenden Konturen der Integration gedacht werden.
Meine Antwort hier sollte relevant sein

Antworten (1)

[Das Folgende ist ein halberinnerter Kommentar, den mein Doktorvater mir vor einigen Jahren gesagt hat, also habe ich ihn vielleicht verstümmelt. Ich begrüße Korrekturen in den Kommentaren; fühl dich frei, mir zu sagen, dass ich auch voll davon bin.]

Eine Möglichkeit, über eine Wick-Rotation nachzudenken, besteht darin, dass die "euklidischen" und "Lorentzschen" Mannigfaltigkeiten (beide vierdimensionale reelle Mannigfaltigkeiten mit einer bestimmten Metrik) als Hyperflächen angesehen werden können, die in einer zugrunde liegenden vierdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit liegen. Zum Beispiel in der komplexen Mannigfaltigkeit C 4 Mit der offensichtlichen Metrik können Sie Hyperflächen mit vier (reellen) Dimensionen finden, die zum euklidischen Vierraum diffeomorph sind, und Hyperflächen mit vier (reellen) Dimensionen, die zum Minkowski-Raum diffeomorph sind. Der Grund, warum Wick-Rotationen in der flachen Raumzeit oft erfolgreich sind, liegt darin, dass die Funktionen, die wir betrachten, im Allgemeinen holomorph sind und daher von einem "Querschnitt" zum anderen analytisch fortgesetzt werden können.

In diesem Bild liegt ein Vektor in einem euklidischen Querschnitt C 4 muss aktiv in den Lorentz-Querschnitt "gedreht" werden. Durch einfaches Ändern der Koordinaten in Ihrem Querschnitt wird nicht auf magische Weise ein Vektor "eingezogen", der nicht bereits in diesem Querschnitt liegt.

Dieses Bild lässt sich übrigens nicht unbedingt auf die Analyse in gekrümmten Raumzeiten übertragen. Wir könnten das denken, wenn die Lorentzsche Metrik von der Form ist

D S 2 = − F ( X ich , T ) D T 2 + G ich J D X ich D X J
in einem Satz von Koordinaten, dann könnten wir ein euklidisches Analogon definieren
D S E 2 = F ( X ich , T ) D T 2 + G ich J D X ich D X J
und führe dort die Analyse durch. Es gibt jedoch keine Garantie dafür, dass es eine komplexe Mannigfaltigkeit mit diesen beiden Querschnitten gibt, und daher können wir uns nicht auf die euklidischen Ergebnisse verlassen, um uns etwas über die Lorentzsche Physik zu sagen.

Gibt es eine anständige Anleitung, welche Teile der Lorentzschen Physik Sie nach der Dochtrotation nachahmen können und welche nicht? In Lattice QCD scheinen sie diesen Mechanismus zu verwenden, um beispielsweise viele Berechnungen realer physikalischer Eigenschaften durchzuführen.
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