Quantenversion des Galton Boards

Vielleicht gefällt Ihnen dieses 110-seitige Papier von mir und Alex Arkhipov , in dem es um ein quantenbosonisches Analogon von Galtons Platine geht (wir verwenden sogar dieselbe Grafik wie Sie – siehe Abschnitt 1.1!). Insbesondere haben wir starke Beweise dafür geliefert, dass ein solches Board (mit einer willkürlichen Konfiguration von „Pegs“ und mit mehreren Einstiegspunkten für die „Bälle“) selbst mit einem klassischen Computer exponentiell schwer zu simulieren ist. Dies deutet darauf hin, dass ein solches Quanten-Galton-Board (das jetzt als „BosonSampler“ bezeichnet wird) als rudimentärer Quantencomputer zum Nachweis des Prinzips verwendet werden könnte. Und tatsächlich wurden innerhalb des letzten Jahres die ersten BosonSampling-Experimente in der linearen Optik durchgeführt (siehe hier ), allerdings bisher nur mit 3 Photonen.

Damit unser Argument für die Rechenhärte funktioniert, brauchten wir zwei entscheidende Annahmen:

(1) Die "Kugeln" müssen ununterscheidbare Teilchen sein. Wenn sie unterscheidbar sind, kann die Verteilung für jeden einzelnen Ball immer noch Interferenzstreifen aufweisen. Aber sobald Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Ball kennen, würde die Verteilung für n Bälle einfach durch n-maliges unabhängiges Abtasten dieser Verteilung erhalten werden – wodurch das "konventionelle, klassische" Verhalten des Gesetzes der großen Zahlen erzeugt wird. Im Gegensatz dazu können identische Quantenteilchen bekanntermaßen „korreliert“ werden, auch wenn sie nie explizit miteinander interagiert haben, wie zum Beispiel beim Hong-Ou-Mandel-Dip zu sehen ist .

(2) Die "Kugeln" müssen Bosonen sein . In diesem Fall sind ihre Übergangsamplituden durch nxn Matrixpermanente gegeben, deren Berechnung ein berühmtes schwieriges Problem in der Informatik ist. Sind die Kugeln dagegen Fermionen, so sind ihre Übergangsamplituden durch nxn Determinanten gegeben , die sich klassisch leicht berechnen lassen.

Natürlich gibt es auch eine "engere" Art, Ihre Frage zu interpretieren, die möglicherweise näher an dem liegt, wonach Sie eigentlich gefragt haben! Anstelle eines "beliebigen" Galton-ähnlichen Bretts könnten wir nämlich die spezifische Geometrie aus der Abbildung betrachten: Sagen wir also, ein Netzwerk von 50/50-Interferometern, die in einem Rautenmuster in der Ebene angeordnet sind, mit einer einzigen Teilchenquelle bei die Spitze. Und wir könnten dann die bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung über n-Teilchen-Ergebnisse, zu denen diese Konfiguration führt, unter zwei verschiedenen Annahmen berechnen (oder, wenn wir fauler sind, numerisch simulieren ...):

(1) Dass die Teilchen unterscheidbar sind. (In diesem Fall reduziert sich das Problem natürlich darauf, die Verteilung für ein einzelnes Teilchen zu berechnen.)

(2) Dass die Teilchen ununterscheidbare Bosonen sind.

(Beachten Sie, dass ein dritter Fall, dass die Teilchen nicht unterscheidbare Fermionen sind, niemals auftritt – denn nach dem Pauli-Ausschlussprinzip könnten n identische Fermionen nicht einmal gleichzeitig durch die einzelne Quelle oben „passen“.)

Wenn ich später etwas Zeit habe, werde ich vielleicht die Antworten ausarbeiten und sie hier posten – aber in der Zwischenzeit sollte sich jeder andere frei fühlen, dies zuerst zu tun.

Nachtrag: OK, betrachten wir also den Fall eines einzelnen Quantenteilchens, das durch ein „rautenförmiges“ Netzwerk aus 50/50-Interferometern läuft. In diesem Fall wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach n Schritten nicht durch die n ^-te Reihe des Pascalschen Dreiecks (wie im klassischen Fall) bestimmt, sondern durch die n ^-te Reihe des sogenannten "interferometrischen Pascalschen Dreiecks". Letzteres ist wie folgt definiert: Sei A(i,j) der j ^-te Eintrag in Zeile i. Dann:

A(0,0)=1

A(0,j)=0 für alle j≠0

Für i+j positiv und ungerade: A(i,j)=A(i-1,j)+A(i-1,j+1)

Für i+j positiv und gerade: A(i,j)=A(i-1,j-1)-A(i-1,j)

Ich bin mir fast sicher, dass das Ergebnis das Standardverhalten für den "Quanten-Random-Walk auf der Linie" asymptotisch annähern wird: siehe hier oder hier für gute Übersichten. Insbesondere sieht die Verteilung nicht so aus wie die Gaußsche: Stattdessen sollte sie nahezu gleichmäßig sein, außer mit einer Reihe von oszillierenden Spitzen in der Nähe der beiden Kanten , wobei die Größe der Spitzen gedämpft wird, wenn Sie sich der Mitte nähern. (Beispielbilder finden Sie in den verlinkten Artikeln.)

Eine kleine Einschränkung ist, dass übliche Analysen von Quanten-Random-Walks davon ausgehen, dass es eine "Münze" gibt (dh einen Spin-1/2-internen Freiheitsgrad), während ich eine versetzte Anordnung von Interferometern verwendet habe, um die Notwendigkeit für die Münze zu beseitigen. Ich glaube nicht , dass dies das qualitative Verhalten des Spaziergangs beeinflusst, aber ich habe keinen Beweis.