Gibt es eine Bedingung der Quantenmechanik, die Lorentzsche Verteilungen verbietet?

Es gibt keine Einschränkung der QM, die dieses Problem vermeidet, auch wenn diese Zustände etwas seltsam erscheinen, da sie keine "bevorzugte" räumliche Lokalisierung haben, aber im Prinzip nicht ausgeschlossen werden können. Ich betone, dass wir über richtige Zustände diskutieren , dh Elemente von$L^2(\mathbb R)$und nicht etwa Eigenfunktionen des Impulsoperators.

Eigentlich ist die Verwendung des Mittelwerts zur Lokalisierung des Partikels teilweise konventionell und sinnvoll, wenn die Verteilung streng um ihren Mittelwert konzentriert ist und es Fälle gibt, in denen dies nicht der Fall ist, selbst wenn der Mittelwert der Position definiert ist. Denken Sie an die Eigenfunktion des harmonischen Oszillators ...

In Bezug auf einen Hamilton-Operator, der solches zulässt$\psi$(angeblich reell) als Eigenvektor ist leicht konstruiert

$$H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\:,$$

wo

$$V(x) = \frac{\psi''(x)}{\psi(x)}\:.$$ Mit dieser Definition $\psi$ist der Eigenvektor mit Eigenwert Null.

Vorausgesetzt

$$\psi(x) = \sqrt{\frac{a}{\pi(x^2+a^2)}}$$ für einige $a>0$, wir haben $$V(x) = \frac{2x^2-a^2}{(x^2+a^2)^2}\:.$$ Dies ist ein ziemlich interessantes Potenzial, das unten für dargestellt wird $a=1$

Dieser Hamiltonoperator ist selbstadjungiert auf demselben Gebiet der Selbstadjungiertheit von$-\frac{d^2}{dx^2}$weil der multiplikative Operator$V$ist beschränkt und selbstadjungiert. Mit anderen Worten$H$ist im Definitionsbereich des Abschlusses selbstadjungiert$\overline{\frac{d^2}{dx^2}}$fällt mit dem Sobolev-Raum zusammen$H^2(\mathbb R)$was sicherlich dazugehört$\psi$. Also alles klar definiert

Dieses zweite Bild stellt auch die Funktion dar$\psi$, die Eigenfunktion von$H$mit Null Eigenwert.

Tatsächlich ist die physikalische Interpretation, dass diese Potentiale eine Delokalisierung der Wellenfunktion induzieren, die die Grundlage für die chemische Bindung ist. Potentiale zwischen Elektronendonor- und Elektronenakzeptoratomen sind so geformt, wie das von Valter gezeigte Potential ist. Die Delokalisierung impliziert auch, dass die Elektronenabstoßung innerhalb des Moleküls gemittelt/maskiert und nur weit davon entfernt sichtbar ist

https://en.wikipedia.org/wiki/Resonance_(chemistry)#Charge_delocalization

Die Ladungsdelokalisierung in Anionen ist ein wichtiger Faktor, der ihre Reaktivität (allgemein: je höher das Ausmaß der Delokalisierung, desto geringer die Reaktivität) und insbesondere die Säurestärke ihrer konjugierten Säuren bestimmt. Als allgemeine Regel gilt: Je besser die Ladung in einem Anion delokalisiert ist, desto stärker ist seine konjugierte Säure. Beispielsweise ist die negative Ladung im Perchloratanion (ClO− 4) gleichmäßig auf die symmetrisch orientierten Sauerstoffatome verteilt (und ein Teil davon wird auch vom zentralen Chloratom gehalten). Diese hervorragende Ladungsdelokalisierung in Kombination mit der hohen Anzahl an Sauerstoffatomen (vier) und der hohen Elektronegativität des zentralen Chloratoms führt dazu, dass Perchlorsäure mit einem pKa-Wert von –10 eine der stärksten bekannten Säuren ist.

Auch der Artikel über Elektronendelokalisierung

Es gibt bereits gute Antworten, aber ich möchte hinzufügen, dass es absolut nichts Seltsames oder Falsches daran gibt, dass ein Erwartungswert nicht definiert ist.

Betrachten Sie als klassisches Beispiel das Sankt-Petersburg-Paradoxon . Ein Dollar wird in einen Topf gelegt und eine Münze geworfen. Wenn die Münze Kopf zeigt, gewinnen Sie den Pot; bei Zahl verdoppelt sich der Pot und Sie drehen erneut um. Dann ist der erwartete Geldbetrag, den Sie verdienen

$$\frac12 (1) + \frac14 (2) + \frac18 (4) + \ldots = \frac12 + \frac12 + \frac12 + \ldots = \infty.$$ Was bedeutet das? Bedeutet das, dass das Spiel nicht existiert oder dass Sie, wenn Sie es spielen, am Ende einen undefinierten Geldbetrag erhalten? Nein; Wir können das Spiel jetzt spielen und Sie werden wahrscheinlich ein paar Dollar haben.

Was undefinierte Erwartungswerte in der Praxis bedeuten, ist Folgendes: Angenommen, Sie spielen das Spiel viele Male und mitteln die Ergebnisse. Sie erhalten eine bestimmte Zahl, und wenn der Erwartungswert endlich ist, wird Ihr Durchschnitt sich ihm annähern, wenn Sie mehr und mehr spielen. Wenn der Erwartungswert andererseits nicht endlich ist, wächst Ihr Durchschnitt unbegrenzt, da er durch immer seltener werdende Jackpots weiter nach oben gezogen wird.

Genau das gleiche Prinzip ist in Ihrer Situation am Werk. Es ist nichts falsch daran, die Position eines solchen Teilchens zu messen, und Sie werden wahrscheinlich ein vernünftiges Ergebnis erhalten. Der schwere Schwanz wird nur sichtbar, wenn Sie viele Male messen und die Ergebnisse mitteln. Es ist okay für$\langle x \rangle$undefiniert sein; insbesondere gibt es absolut keinen Grund zu der Annahme, dass das Quantenteilchen „wirklich“ da ist$\langle x \rangle$, genauso wenig, wie Sie „wirklich“ unendlich viel Geld bekommen würden, wenn Sie das obige Spiel einmal spielen.