Wie bestimmt man den Lokalisierungsgrad einer Wellenfunktion?

Question

Wie bestimmt man den Lokalisierungsgrad einer Wellenfunktion?

Physik
Statistiken
Wellenfunktion
Quantenmechanik
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

Susan Gänseblümchen

Angenommen, es gibt eine Wellenfunktion $\Psi (x,0)$ wo 0 bezieht sich auf $t$ . Lassen Sie uns das auch sagen $a(k) = \frac{C\alpha}{\sqrt{\pi}}\exp(-\alpha^2k^2)$ ist der spektrale Inhalt (spektrale Amplituden) wo $k$ ist als Wellenzahl definiert $k$ . $\alpha$ Und $C$ sind Konstanten.

Meine Frage ist, warum wir rechnen $\Delta x$ indem Sie sich ansehen, wo der Wert von $\Psi (x)$ verringern um $1/e$ vom maximal möglichen Wert von $\Psi (x)$ ?

Auch, obwohl die Breite der $\Psi (x)$ Paket ist $4\alpha$ , wir definieren $\Delta x$ als $\alpha$ . Warum ist es so?

Übrigens, $\Delta x$ wird wie in der Unschärferelation verwendet.

Antworten (1)

Wie bestimmt man den Lokalisierungsgrad einer Wellenfunktion?

David z · Answer 1

$\Delta x$ ist eigentlich die Standardabweichung der Position. Sie kann aus der Formel berechnet werden

Δ X^{2} = \int Ψ^{*} (X) (X - ⟨ X ⟩)^{2} Ψ (X) D X

$\Delta x^2 = \int\Psi^*(x)\bigl(x - \langle x\rangle\bigr)^2\Psi(x)\mathrm{d}x$

Wo $\langle x\rangle = \int \Psi^*(x)x\Psi(x)\mathrm{d}x$ ist der Erwartungswert der Position. Oder Sie könnten es in der Impulsdarstellung berechnen (ich denke, dies wäre tatsächlich die Wellenzahldarstellung).

Δ X^{2} = \int A^{*} (k) (X - ⟨ X ⟩)^{2} A (k) D k

$\Delta x^2 = \int a^*(k)\bigl(x - \langle x\rangle\bigr)^2 a(k)\mathrm{d}k$

aber in diesem fall $x$ ist jetzt der Positionsoperator, $x = i\frac{\partial}{\partial k}$ . Alle diese Formeln erscheinen in jeder einführenden Referenz zur Quantenmechanik.

Wenn Sie die Formel einsetzen, die Sie für haben $a(k)$ , mit der entsprechenden Normalisierung finden Sie das $\Delta x = \alpha$ .

Ich bin etwas verwirrt; warum zeigt mir mein Lehrbuch das dann $\Delta x$ hängt mit der Breite des Wellenpakets (x-Achse der Wellenfunktion) zusammen? Sie nutzen es zum Rechnen $\Delta x \Delta k$ .... Edit: Ich glaube, ich kann den Kommentar vorher streichen; ist dies also nur eine Annäherung an die oben dargestellte Gleichung?
Nun, wie definieren Sie die Breite des Wellenpakets? Normalerweise wird die Breite als Standardabweichung definiert , die mit einer Formel wie der in meiner Antwort berechnet wird. Aber wenn Sie eine andere Definition verwenden, stimmt diese natürlich möglicherweise nicht überein. Eine Gaußsche Wellenfunktion fällt nie wirklich auf Null, daher gibt es keine eindeutige Möglichkeit, die Breite zu definieren.

Wie bestimmt man den Lokalisierungsgrad einer Wellenfunktion?

Susan Gänseblümchen

Antworten (1)

David z

Susan Gänseblümchen

David z

Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Berechnung von ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle und ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle für die Wellenfunktion [geschlossen]

Zwei-Partikel-System

Zeitumkehrsymmetrie in der Schrödinger-Gleichung und Entwicklung von Wellenpaketen

Wurde die Unschärferelation durch die Fourier-Analyse abgeleitet?

Wächst Heisenbergs Unsicherheit unter Zeitentwicklung immer?

Grund für die Ausbreitung des Gaußschen Wellenpakets

Ist die Teilchenbreite eine Folge der Heisenbergschen Unschärferelation?

Statistische Interpretation der Wellenfunktion vs. Interpretation der Oszillation

Warum komplexe Funktionen zur Erklärung des Wellen-Teilchen-Dualismus?