Grund für die Ausbreitung des Gaußschen Wellenpakets

Das Gaußsche Wellenpaket breitet sich nur in der freien Schrödinger-Gleichung aus. Es breitet sich nicht aus, wenn Sie einen harmonischen Oszillator haben und die Gaußsche Breite gleich der der Grundzustandswellenfunktion ist. Für andere Gaußsche in einem Oszillator oszilliert die Breite, wächst und schrumpft.

Die Ausbreitung in der freien Schrödinger-Gleichung ist am einfachsten aus den Analytizitätseigenschaften zu verstehen. Die Schrödinger-Gleichung ist analytisch mit der Diffusionsgleichung verknüpft

$${d\over dt} \rho = {1\over 2} \nabla^2 \rho$$

Die fundamentale Lösung der Diffusionsgleichung für Anfangsbedingungen eine Delta-Funktion bei$t=0$Und$x=0$ist die sich ausbreitende Gaußsche:

$$\rho(x,t) = {1\over \sqrt{2\pi t}} e^{-{x^2\over 2t}}$$

Sie können sehen, dass dies funktioniert, indem Sie ersetzen, aber es ist auch aus einem Pfadintegral ersichtlich. Um das sich ausbreitende Schrödinger-Paket zu erhalten, ersetzen Sie$it$für t.

Rons Antwort ist (wie immer :-) endgültig, und wenn Sie eine Antwort akzeptieren wollen, sollten Sie seine akzeptieren. Ich dachte jedoch, dass es sich lohnt, eine allgemeinere Erklärung zu versuchen.

Denken Sie daran, dass das Gaußsche Paket die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens beschreibt. Wenn sich das Paket ausbreitet, bedeutet dies nicht, dass das Partikel in gewissem Sinne anschwillt und sich ausbreitet, es bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit, das Partikel zu finden, ausbreitet.

Der Grund dafür ist, dass die Gauß-Funktion eine Impulsstreuung hat, die mit der Unschärferelation zusammenhängt$\Delta p\Delta x \ge \hbar/2$. Das bedeutet, dass es eine Ausbreitung der Geschwindigkeiten gibt und dies bedeutet, dass sich die Gauß-Verteilung ausbreiten muss. Ich zögere zu sagen, dass sich verschiedene Bits des Pakets mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, weil dies eine klassische Analogie versucht, die irreführend ist, aber es gibt Ihnen hoffentlich eine gewisse physikalische Intuition darüber, was vor sich geht.

(Aus meinem Buch http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf )

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Ausbreitung des Freifeldwellenpakets

Die Geschwindigkeit des Wellenpakets ergibt sich aus der Ableitung des Hamiltonoperators gegen den Impuls.

$$\begin{equation} v ~~=~~ \frac{\partial H}{\partial p} ~~=~~ \frac{\partial E}{\partial p} ~~=~~ \frac{p c^2}{\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}} ~~=~~ \frac{p c^2}{E~} \end{equation}$$

Das Wellenpaket würde sich im Falle einer Single nicht ausbreiten$v$wie im Fall eines masselosen Teilchens, das durch eine Wellenfunktion repräsentiert wird, die sich unverändert mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Ein lokalisiertes Feld mit einer Gaußschen Form hat jedoch (über die Fourier-Transformation) eine Gaußsche Verteilung von$p$im Impulsraum. Die Beziehung

$$\begin{equation}E = \sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\end{equation}$$

bedeutet, dass es statt einer einzigen eine Reihe von Geschwindigkeiten geben wird und sich das Wellenpaket im Allgemeinen ausbreiten wird.

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Abbildung 1.

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Die Variation ist ungefähr gegeben durch.

$$\begin{equation} \frac{\Delta v}{\Delta p}~\approx~\frac{\partial v}{\partial p} ~~\longrightarrow~\Delta v ~\approx~ \frac{\partial^2 E}{\partial\,p^2}~\Delta p \end{equation}$$

Angesichts der Heisenbergschen Unschärferelation$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$kann durch Fourier-Analyse abgeleitet werden, die im Fall einer Gauß-förmigen Wellenfunktion wird$\Delta x \Delta p = \hbar/2$, der Mindestwert, den wir schreiben können.

$$\begin{equation} \Delta v ~\approx~ \frac{\partial^2 E}{\partial\,p^2}~\frac{\hbar}{2\Delta x} \end{equation}$$

Wo$\Delta x$ist die Breite. Man kann schlussfolgern, dass sich die Gesamtform einer Wellenfunktion schneller ändert, wenn$\Delta x$für eine gegebene Geschwindigkeitsvariation kleiner ist$\Delta v$. Wir können eine dimensionslose Größe shape definieren , die zeitlich abgeleitet ist, was uns eine Annäherung an die relative zeitliche Ausbreitung der Wellenfunktion gibt.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\Delta v}{\Delta x} ~~ \approx ~~ \frac{\partial^2 E}{\partial\, p^2}~\frac{\hbar}{2(\Delta x)^2} \end{equation}$$

Das Ausarbeiten der Ableitung zweiter Ordnung ergibt uns.

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 E}{\partial\, p^2} ~=~ \frac{(mc^2)^2~c^2}{~\big(~(pc)^2+(mc^2)^2~\big)^{3/2}~} ~=~ \frac{E_o^2\,c^2}{E^3} ~=~\frac{c^2}{E\gamma^2} \end{equation}$$

Was uns zu unserem letzten Ausdruck hier führt.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\hbar\,c^2}{2E(\gamma\Delta x)^2} \end{equation}$$

Wenn wir die Gammas entfernen, erhalten wir den Ausdruck für das Restframe.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{\hbar\,c^2}{2mc^2(\Delta x)^2} \end{equation}$$

Wir können die Ergebnisse wie folgt zusammenfassen:

• Die Ausbreitung der Wellenfunktion ist umgekehrt proportional zur Frequenz (der zeitlichen Phasenänderungsrate) des Partikels. Partikel mit höherer Masse breiten sich langsamer aus.
• Die Ausbreitung der Wellenfunktion ist proportional zum Quadrat der Impulsausbreitung. Je kleiner das Anfangsvolumen ist, in dem die Anfangswellenfunktion enthalten war, desto schneller breitet sie sich aus und breitet sich immer weiter aus.

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Figur 2

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Von Abbildung. 2 können wir den mathematischen Mechanismus ablesen, der zur Ausbreitung führt. Die Variation$\Delta p$des Impulses bleibt über die Zeit gleich. Es ist die Frequenzabhängigkeit vom Impuls

$E=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}$

was zu einem Phasenwechsel führt$p$.

Die Phasenänderung ist auf beiden Seiten des Mittenimpulses entgegengesetzt. Diese Phasenänderungen führen zu (entgegengesetzten) Translationen der Wellenfunktion im Ortsraum, dies ist die Spreizung. Der Wert$\Delta x$in unserem Ausdruck bleibt konstant, weil$\Delta p$bleibt konstant, es ist der Anfang$\Delta x$entsprechend der reinen Gaußschen at$t$=$0$.

Einige tatsächliche Streuratenzahlen

Wir können ein paar Zahlenbeispiele erarbeiten, um eine Vorstellung von den Ausbringmengen zu bekommen. Aus dem weiten Bereich der Wellenlängengrößen können wir den Compton-Radius als die kleine Größengrenze klassifizieren, obwohl es im Prinzip keine wirkliche Barriere gibt, um zu noch kleineren Wellenpaketen zu gelangen.

Wenn wir ersetzen$\Delta x$mit dem doppelten Compton-Radius$r_c=\hbar/mc$dann unter der Annahme, dass unsere Annäherung in diesem Bereich noch einigermaßen gültig ist.

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Big\{ \mbox{shape} \Big\} ~~ \approx ~~ \frac{c}{8\,r_c} \end{equation}$$

Erinnern wir uns an die Ruhefrequenz des Teilchens:$f_o=c/(2\pi\,r_c)$(im Falle des Elektrons$f_o=1.2355899729\,10^{20}$Hz ), dann sehen wir, dass sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit in diesem Bereich der Lichtgeschwindigkeit annähert. Die Impulsstreuung ist so groß, dass sie Geschwindigkeiten von nahe bis einschließt$-c$bis zu$+c$.

Um ein Elektronenfeld auf ein Comptonradius-ähnliches Volumen zu beschränken, benötigt man eine positive Ladung von$~$137e, Die innersten Elektronen schwerer Elemente sind beinahe auf einen so kleinen Bereich beschränkt. Der Compton-Radius für Elektronen ist$3.861592696\,10^{-13}$Meter.

Häufiger heben aus einem gebundenen Zustand befreite Elektronen mit einem viel größeren Radius ab, vergleichbar mit dem Bohr-Radius. ($5.291772131\,10^{-11}$Meter) Dadurch ist die Streugeschwindigkeit deutlich geringer,$v < 0.01c$, aber immer noch ziemlich hoch.

Die Größe des Wellenpakets wird schnell wachsen. Beispielsweise zeigt das berühmte Einzelelektronen-Interferenzexperiment von Akira Tomomura (siehe Abbildung 3), das den Aufbau eines Interferenzmusters durch Einzelelektronen demonstrierte, dass die Elektronenfelder im Experiment mindestens mehrere Mikrometer breit sein müssen. Dies ist ein Faktor 100.000 breiter als bei der Begrenzung des Bohr-Radius.

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Figur 3

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Hans

Die Erklärung ist wirklich sehr einfach intuitiv zu verstehen und sehr schön.

Stellen Sie sich vor, dass ein Teilchen eine Unsicherheit in seiner Geschwindigkeit hat$v$von$\delta v$. Angenommen bei$t=0$wir haben$x=x_{0}$. Nach$t=T$, wird der Ort des Partikels durch die Reichweite angegeben $(x_{0}+Tv-T\delta v,x_{0}+Tv+T\delta v)$, weil wir die genaue Geschwindigkeit, mit der das Teilchen gestartet ist, nicht kennen. Es ist offensichtlich, dass sich die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, von anfänglich lokalisiert zu nach einiger Zeit gestreut geändert hat: dies ist Wellenpaketausbreitung.

Beachten Sie, dass der Bereich (Wellenpaketgröße) mit der Zeit monoton zunimmt. Dies bedeutet, dass selbst wenn wir für den allgemeinen Fall mit einer diffusen Partikeldichte begonnen haben, diese durch die Erweiterung des Arguments nur viel diffuser wird.

Obwohl ich die Mathematik verstehe, verstehe ich die physikalische Erklärung dahinter nicht .

Ich probier es mal aus.

Für ein freies Teilchen sind Impuls-Eigenzustände auch Energie-Eigenzustände und haben daher eine einfache Zeitabhängigkeit, eine zeitabhängige Phase mit einer Frequenz proportional zur Energie des Zustands.

Ein freies Teilchen mit einer Gaußschen Wellenfunktion ist dann eine kontinuierliche Überlagerung von Impuls- und damit Energie-Eigenzuständen.

Da sich die Phase der verschiedenen Impuls-Eigenzustände unterschiedlich schnell entwickelt , entwickelt sich die Art und Weise, wie sich die verschiedenen Komponenten konstruktiv/destruktiv addieren, mit der Zeit.

Wenn alle Phasen genau so „aneinandergereiht“ sind, erhalten wir das Wellenpaket mit minimaler Unsicherheit. Mit fortschreitender Zeit breitet sich das Wellenpaket aus, da sich die Phasen mit unterschiedlichen Raten entwickeln.