Warum haben kohärente Zustände eine Poisson-Zahlenverteilung?

Kurzfassung

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\Ket}[1]{\left| #1 \right>} %$Weil Sie Strahlteiler verwenden können, um einen kohärenten Zustand in ein Tensorprodukt vieler unabhängiger kohärenter Zustände mit niedriger Photonenzahl aufzuteilen.

Längere Version

Wenn du schickst$\ket{\alpha}$auf einem Strahlteiler des Transmissionskoeffizienten$t$und Reflexionskoeffizient$r$(mit$|r|^2+|t|^2=1$) erhalten Sie das Produkt zweier unabhängiger kohärenter Zustände$\ket{t\alpha}\otimes\ket{r\alpha}$. Diese Eigenschaft charakterisiert kohärente Zustände, da jeder andere Eingangszustand zu einer Verschränkung im Ausgang des Strahlteilers führt.

Da der Ausgangszustand ein Produktzustand ist, ist die Statistik jeder Messung, die an einem Ausgang durchgeführt wird, unabhängig von der Statistik einer Messung, die an dem anderen Ausgang durchgeführt wird. Da außerdem der Strahlteiler eine passive Komponente ist, ist die Gesamtzahl der Photonen des Eingangszustands$\ket{\alpha}$ist die Summe der Anzahl der Photonen an den Ausgängen.

Jetzt können Sie auch Strahlteiler an den Ausgängen hinzufügen und einen Baum von Strahlteilern konstruieren$N\gg|\alpha|^2$symmetrische Ausgänge, die den kohärenten Eingangszustand umwandeln$\ket{α}$in das Produkt von$N$kohärente Zustände$\Ket{\tfrac{\alpha}{\sqrt{N}}}^{\otimes N}$. Nach wie vor bleibt die Gesamtzahl der Photonen erhalten, also die Statistik der Photonenzahl$\ket α$ist die Summe der$N$unabhängige Ausgänge, die jeweils eine kleine durchschnittliche Photonenzahl haben$\tfrac{|\alpha|^2}{N}$. Wann$N \to \infty$, die einzige Verteilung mit dieser Eigenschaft ist die Poisson-Verteilung. QED.

Verknüpfung mit Unabhängigkeit von aufeinanderfolgenden Detektionsereignissen

Beachten Sie, dass in der obigen Begründung die Strahlteiler keine tatsächlichen objektteilenden Strahlen sein müssen. Alles, was die Basis der Raum-Zeit-Modi ändert, erfüllt die Aufgabe. Lassen Sie insbesondere Ihren kohärenten Zustand in dem Modus sein, der einem Lichtimpuls entspricht. Sie können den Puls auch „einschneiden“.$N$kurze Zeitscheiben. Diese Beschreibung entspricht genau dem obigen Strahlteiler und entspricht der von @AccidentalFourierTransform und @ThomasS oben formulierten Intuition über die Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Photonenerkennungsereignisse.

Bei allen obigen Beschreibungen bin ich implizit davon ausgegangen, dass der andere Anschluss jedes Strahlteilers leer ist, dh den Vakuumzustand erhält$\ket0$. Diese entscheidende Annahme ist oben immer noch vorhanden, wenn ich den kohärenten Zustand in viele Zeitscheiben „schneide“, die Initiale$N-1$vacua befindet sich in Raumzeitmoden, die orthogonal zum ursprünglichen Lichtimpuls sind.

Während die akzeptierte Antwort die Frage bereits gut beantwortet, glaube ich, dass es schön sein kann, expliziter zu sehen, wie genau wir die Koeffizienten (und damit die Poissonsche Statistik) eines kohärenten Zustands erhalten$\lvert\alpha\rangle$aus der einzigen Anforderung, dass nach einer einheitlichen Evolution$\mathcal U$, der Ausgangszustand$\mathcal U\lvert\alpha\rangle$wird über die verschiedenen Modi faktorisiert:

$$\mathcal U\lvert\alpha\rangle=\bigotimes_k\lvert\psi_k\rangle.$$ Betrachten wir einen generischen anfänglichen Single-Mode-Zustand$\lvert\psi\rangle$, mit Koeffizienten $$\lvert\psi\rangle=\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{\sqrt{k!}}\lvert k\rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}a^{\dagger k}\lvert 0\rangle.$$ Beachten Sie, dass die Auswahl von$c_k/\sqrt{k!}$als Koeffizienten (statt einer einfacheren$c_k$) ist rein konventionell (aber es wird sich herausstellen, dass es die Berechnungen später erleichtert). Betrachten wir eine einheitliche Evolution, die den Zustand wie folgt in zwei verschiedene Modi aufteilt $$a^\dagger\to r a_1^\dagger + t a_2^\dagger.$$ Wir könnten den allgemeineren Fall einer Aufspaltung in betrachten$N>2$Modi, aber das wird sich als unnötig herausstellen.

Auf dieser einheitlichen Evolution der Staat$\lvert\psi\rangle$entwickelt sich zu:

$$\lvert\psi\rangle\to\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}(ra_1^\dagger+ta_2^\dagger)^k\lvert0\rangle = \sum_{k=0}^\infty c_k\sum_{l=0}^k\frac{(ra_1^\dagger)^l}{l!}\frac{(ta_2^\dagger)^{k-l}}{(k-l)!}\lvert0\rangle,\tag1$$ wobei wir die Binomialformel verwendet haben, um die zu erweitern$k$-te Potenz einer Summe zweier Terme. Fragen wir nun, welche Terme in dieser Summe enthalten sind$n$-te Potenz von$a_1^\dagger$. Die Antwort ist leicht ersichtlich $$\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{k=n}^\infty c_k\frac{(ta_2^\dagger)^{k-n}}{(k-n)!}=\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{m+n}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}.$$ Mit anderen Worten, wenn wir die Terme von (1) neu anordnen, um die Koeffizienten der Potenzen von zu machen$a_1^\dagger$explizit können wir den Endzustand wie folgt umschreiben ( 1 ) $$\lvert\psi\rangle\to\mathcal U\lvert\psi\rangle= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!} \sum_{m=0}^\infty c_{n+m}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}\lvert0\rangle.$$ Bemerkenswerterweise sagt uns dies, dass der Ausgangszustand$\mathcal U\lvert\psi\rangle$ist trennbar genau dann, wenn die Koeffizienten genügen$c_{n+m}=c_n c_m$, das heißt, wenn$c_n=\alpha^n$für einige$\alpha\in\mathbb C$. Als Bonus sehen wir, dass der Ausgangszustand in diesem Fall ein Produkt kohärenter Zustände über die verschiedenen Modi bleibt.

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(1) Genauer gesagt ist der Kern des Arguments die folgende Gleichheit

$$\sum_{s=0}^\infty c_s(a+b)^s=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{n+m}(n+m)!\frac{b^m}{m!}.$$

1. Von den Eigenschaften des Zerstörungsbetreibers

Das muss man also erstmal akzeptieren$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$. Dies ist relativ leicht einzusehen, da das Matrixelement zur Absorption eines Photons durch ein Zwei-Niveau-System (Atom, das vom Grund- in den angeregten Zustand übergeht) proportional ist$\langle n-1|a|n\rangle$und diese muss proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Photonen im Lichtmodus sein, da die Absorptionswahrscheinlichkeit proportional zur Lichtintensität sein muss. Also braucht man sowas$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$(Ignorieren eines möglichen Phasenfaktors).

Wenn Sie dann den kohärenten Zustand in Zahlenzustände erweitern,$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$und setze diese ein$a|n\rangle = \alpha|n\rangle$, Sie sehen, dass Sie brauchen$c_n\sqrt{n}=\alpha c_{n-1}$. Das Ergebnis beim Absenken$c_n|n\rangle$mit$a$muss dasselbe sein wie eine Multiplikation von$|n-1\rangle$mit$\alpha$. Als Konsequenz,$c_n =(\alpha/\sqrt{n})c_{n-1}$und du bist fertig. Dies iterieren$n$mal ergibt$c_n = (\alpha^n/\sqrt{n!})c_0$. Die Normalisierung ergibt den Wert von$c_0$und dann hast du$\langle n|\alpha\rangle=c_n$. Jetzt quadrierst du das Ganze und erhältst die Poisson-Verteilung.

Der Punkt ist also der für groß$n$,$\alpha/\sqrt{n}$immer kleiner als 1 sein. Deshalb nimmt in diesem Fall die Poisson-Verteilung ab. Für klein$n$, gilt das Gegenteil und die Poisson-Verteilung nimmt zu.

2. Kohärenter Zustand im Phasenraum

Es gibt ein alternatives Bild. Sie wissen, dass ein Einmodenfeld wie ein harmonischer Oszillator ist, bei dem die Quadraturoperatoren der Mode die Rolle von Position und Impuls des HO spielen. Ein kohärenter Zustand ist nun ein Wellenpaket, das im parabolischen Potential schwingt, ohne seine Form zu verändern. Für dieses Wellenpaket gibt es keine Dispersion, es ist kohärent (daher kommt der Name kohärenter Zustand). Die Energieeigenzustände des HO (die den Zahlenzuständen des Feldmodus entsprechen) sind statisch, sie bewegen sich nicht. Um also einen kohärenten Zustand zu konstruieren, müssen Sie eine Überlagerung von Zahlenzuständen verwenden. Und die Gewichtung von Zahlenzuständen in der Überlagerung ist das Quadrat der Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung.

Dies ist auch keine intuitive physikalische Erklärung, aber es beleuchtet das Problem ein wenig mehr.

3. Kohärenter Zustand und unabhängige Emissionsereignisse

Eine weitere Möglichkeit zum physikalischen Verständnis ist die Unabhängigkeit der „Emission“-Ereignisse. Daraus lässt sich die Poisson-Verteilung leicht verstehen. Was ich nicht sehe, ist die Verbindung zwischen dem kohärenten Zustand$|\alpha\rangle$und das Konzept der statistisch unabhängigen Emissionen. Ich denke, es ist sogar kontraintuitiv. Im Laser erzeugen die induzierten Emissionsereignisse (zusammen mit dem Resonator) den kohärenten Zustand. Die statistisch unabhängigen spontanen Emissionsereignisse stören den kohärenten Zustand (Phasenfluktuationen im Laser).

Wer kann helfen?

Die Poisson-Verteilung wird statistisch aus einer Eingabe zufälliger Ereignisse abgeleitet,

sie drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeit- und/oder Raumintervall auftreten, wenn diese Ereignisse mit einer bekannten Durchschnittsrate und unabhängig von der Zeit seit dem letzten Ereignis auftreten. 1 Die Poisson-Verteilung kann auch für die Anzahl von Ereignissen in anderen festgelegten Intervallen wie Entfernung, Fläche oder Volumen verwendet werden.

Die Poisson-Verteilung ist ein geeignetes Modell, wenn die folgenden Annahmen zutreffen.

K ist die Häufigkeit, mit der ein Ereignis in einem Intervall auftritt, und K kann die Werte 0, 1, 2, … annehmen.

Auf Photonen prüfen.

Das Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis eintritt. Das heißt, Ereignisse treten unabhängig voneinander auf.

Überprüfen Sie, es gibt keine Photon-Photon-Wechselwirkung, nur Überlagerung.

Die Rate, mit der Ereignisse auftreten, ist konstant. Die Rate kann in einigen Intervallen nicht höher und in anderen Intervallen niedriger sein.

Überprüfen?

Zwei Ereignisse können nicht genau zum selben Zeitpunkt eintreten.

Überprüfen Sie, es ist hier die Heisenberg-Unschärfe.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Intervall ist proportional zur Länge des Intervalls.

Überprüfen?

Wenn diese Bedingungen zutreffen, dann ist K eine Poisson-Zufallsvariable und die Verteilung von K eine Poisson-Verteilung.

Ich habe Fragezeichen, wo ich nicht weiß, was ein QHO ist.

Wenn es überprüft wird, dann ist das der Grund, warum Poisson verwendet wird. Es gibt zwei Beispiele für Photonen in der Vorkommensliste .

Physikalisch gesehen ist die zur Erzeugung von Photonen aufgewendete Energie viel kleiner als die übertragene Energie bei Kollisionen geladener Teilchen. In der Näherung nullter Ordnung kann man den Einfluss der verlorenen Energie auf die Teilchenstreuung vernachlässigen und dann ist das Teilchenverhalten jederzeit bekannt. Oft wird es als "klassischer Strom" bezeichnet$j(t)$. Andererseits ist die Strahlungsgleichung in dieser Näherung bei bekanntem Strom grob gesagt linear$j$:$\square A =j$ebenso die entsprechenden Fourier-Komponenten. Genau genommen muss man die QED-Gleichungen in dieser Näherung lösen, siehe Formel (24.27) im Lehrbuch von Akhiezer-Berestetski:

In dieser Näherung ist die Feldlösung für jede Harmonische ein Eigenzustand des Absenkungsoperators$a_{\omega}$. Es bedeutet einfach zwei Dinge: 1) emittierte Photonen behindern / begünstigen sich nicht gegenseitig beim Emittieren, und 2) es ist immer genug Energie vorhanden, um eine beliebige Anzahl von Photonen zu erzeugen. Mit anderen Worten, die Emission eines Photons beeinflusst die Emission eines anderen nicht gleichzeitig oder zu einem anderen Zeitpunkt. Ihre Emission ist zufällig. Jetzt kommt die Statistik der zufällig emittierten Anzahl von Photonen ins Spiel und Sie erhalten die Poisson-Verteilung.

Sobald Sie die emittierte Energie von oben festlegen oder begrenzen, wird die Poisson-Verteilung gestört, insbesondere für hohe Frequenzen und hohe Photonenzahlen.