Warum genau ist die Husimi-Q-Verteilung keine echte Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Ich bin mir nicht sicher, ob "Problem" das richtige Wort ist. Besonderheit? Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen befassen sich einfach mit Punkten im Phasenraum, die sich nicht gegenseitig ausschließen, sodass Sie ihre Wahrscheinlichkeiten nicht addieren können, wie Sie es über Kolmogorovs 3. tun würden , nämlich σ-Additivität . Große Worte, die darauf hinweisen, dass Sie nicht einfach die Wahrscheinlichkeit, bei (x,p) zu sein , zu der, bei (x',p') zu sein , zu der, bei (x'',p'') zu sein , usw. addieren, weil Sie entweder hier oder dort oder weiter unten sind, um beliebige Phasenraum-Ortswahrscheinlichkeiten zu erhalten. Typischerweise könnte eine einfache reelle Wahrscheinlichkeitsverteilung zwei schmale Spitzen nahe beieinander sein, die Summe der Wahrscheinlichkeiten von zwei disjunkten Alternativen.

Dies gilt jedoch nicht für Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie können niemals die oben nahen Stacheln sein! Wenn du bist$\hbar$- nahe an einem anderen Punkt, du weißt nicht wirklich, dass du an diesem Punkt bist oder wo du dachtest, dass du bist. Das heißt, Ihre „Standort“-Verteilung wird durch das Unsicherheitsprinzip eingeschränkt.

Für die Wigner-Verteilung gilt:$W(x,p)$(Nehmen Sie es am Ursprung so zentriert$\langle \mathfrak{x}\rangle=\langle \mathfrak{p}\rangle=0$), bedeutet dies, dass Ihre Standortwahrscheinlichkeit bei (x,p) auch von der bei (x',p') weiß und ihren Wert beeinflusst (beschränkt), da die Unschärferelation es vorschreibt

$$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle= \left(\int dx dp~ x^2 W\right )\left(\int dx'dp' ~ p'^2 W\right) \geq \hbar^2/4~,$$ egal was . Für den direkten Beweis des HUP in dieser eigentümlichen Umgebung siehe z. B. diese Arbeit .

Physikalisch ist dies in Ordnung, ein Feature!, da Sie Ihren Standort nicht mit mehr als messen können$\hbar$Genauigkeit, und so "weiß" W natürlich , wie es seine kollektiven Werte bei der einschränken kann$\hbar$-Mikroskala. (Sie können daher sehen, dass die beiden obigen Spitzen, z. B. auf der p -Achse, in x nicht zu nahe sein können , da die kleine p- Spreizung die x -Spreizung von unten einschränkt .)

In der Praxis kann W bei solch kleinen Skalen negativ werden, während durch solche Einschränkungen sichergestellt wird, dass die negativen Bereiche kleiner als dieser Bereich sind und niemals negative oder sogar zu kleine Werte für ergeben$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle$.

Immerhin macht man mit W am Ende das, was man mit echten Wahrscheinlichkeitsverteilungen macht, nämlich Erwartungswerte, die die Wigner-Transformation Ihres Operators im Phasenraum mit W integrieren , als Maß, und die sind beweisbar richtig!

$$\langle { {\mathfrak G}} \rangle =\int\! dx dp~ W~ g(x,p).$$

Die Husimi-Verteilung Q ,

$$Q(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int dx' dp' \exp \left( -{(x'-x)^2+(p'-p)^2 \over \hbar} \right) W(x',p')$$ ist die invertierbare lineare Weierstrass-Transformation von W . Es kann gezeigt werden, dass es niemals negativ wird, was bedeutend aussieht, aber weitgehend irrelevant ist. (Sie können sich davon überzeugen, ein Gaußscher $W=\exp\bigl(-(ax^2 +bp^2)/\hbar\bigr)$Weirstrass-verwandelt sich in einen breiteren, $Q=\exp\bigl(-(ax^2/(1+a) +bp^2/(1+b))/\hbar\bigr) /\sqrt{(1+a)(1+b)}$.)

Es liefert die gleichen Erwartungswerte wie oben; aber Sie müssen die Weirstrass-Transformation auf die Wigner-Transformation des Operators falten, um sie in eine Operator-Husimi-Transformation umzuwandeln.$g_H$,

$$\langle {{\mathfrak G}}\rangle = \int\! dx dp~ g(x,p)~ \exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x^2+\partial_p^2 ) \right) ~Q = \int\! dx dp~ g_{_H} ~ e^{\hbar (\overleftarrow {\partial }_x \overrightarrow{\partial }_x + \overleftarrow {\partial }_p \overrightarrow{\partial }_p )/2 } ~Q.$$

Das heißt, wie im vorletzten Absatz Ihrer verknüpften Frage betont, ist ein zusätzlicher Operator in das Integral eingefügt, der eine naive Wahrscheinlichkeitsinterpretation des positiv-semidefiniten Q verhindert .

Aber darüber hinaus ist auch Q durch die Unschärferelation stark eingeschränkt. Verwenden Sie das oben Gesagte, um zu finden

$$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle \\ = \left(\int dx dp~ x^2\exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x^2+\partial_p^2 ) \right) Q\right )\left(\int dx'dp' ~ p'^2\exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x'^2+\partial_p'^2 ) \right) Q\right) \\ \geq \hbar^2/4~.$$ Zugegebenermaßen ist dies weit weniger transparent als der obige W- Einschränkungsfall, aber es ist auch eine ebenso starke a-priori-Einschränkung für die Form von Q , die jede mögliche Interpretation als echte additive Wahrscheinlichkeitsverteilung in Frage stellt.

Positive Halbbestimmtheit ist das geringste Problem bei Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen.