Quantenharmonischer Oszillator in der Thermodynamik

Ich werde dies allgemeiner für alle tun$N$und Gesamtenergie$\mathcal{E}$. Erstens, ich nehme an, Sie haben es vergessen$\hbar \omega$im Hamiltonian, also

$$\hat{H} = \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\hat{a}_i^{\dagger}\hat{a}_i + \frac{1}{2}\right).$$ Im mikrokanonischen Ensemble brauchen wir $\Phi(E)$das ist die Gesamtzahl der Mikrozustände, die eine Gesamtenergie haben $E$. Wie Sie angemerkt haben $E=9/2\hbar\omega$es wird sein $10$. Im Falle eines harmonischen Quantenoszillators die Gesamtenergie $\mathcal{E}$wird von gegeben $$\mathcal{E}(n_1,n_2,\ldots,n_N) = N\frac{1}{2}\hbar\omega + \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N} n_i.$$ Nun stehen Sie vor folgendem Problem. Wie viele Kombinationen von ganzen Zahlen $n_i$(einschließlich 0) gibt es solche, die $$\sum\limits_{i=1}^{N}n_i = \frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega}.$$ Die Antwort, die Sie z. B. hier finden , lautet $$\Phi(E) = \binom{\frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega} + N-1}{N-1}.$$

Lassen Sie uns durch bezeichnen$p(\epsilon|i,E)$die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Oszillatornummer$i$hat Energie$\epsilon$vorausgesetzt, dass die Gesamtenergie ist$E$. Das ist nichts weiter als das Verhältnis$p(\epsilon|i,E) = \phi_i(\epsilon|E)/\Phi(E)$, zwischen Anzahl der Möglichkeiten, wenn$\hbar\omega(n_i + 1/2) = \epsilon$und die Gesamtzahl der Mikrozustände. Wir können leicht rechnen$\phi_i(\epsilon|E)$weil es dem vorherigen kombinatorischen Problem ähnlich ist, aber jetzt haben wir ein Teilchen weniger:

$$\phi_{i}(\epsilon|E) = \binom{\frac{E-\epsilon - (N-1)\hbar\omega/2}{\hbar\omega}+N-2}{N-2}.$$ Für $E = 9\hbar\omega/2$Und $N=3$du erhältst: $$\phi_i(\epsilon|E=9\hbar\omega/2) = \frac{9}{2}- \frac{\epsilon}{\hbar\omega},$$ So $$p(\epsilon|i,E=9\hbar\omega/2) = \frac{9/2-\epsilon/\hbar\omega}{10}.$$

Wenn die gegebene Energie im mikrokanonischen Ensemble einen entarteten Eigenraum des Hamiltonschen hat, nehmen Sie einfach eine orthonormale Basis für diesen Eigenraum und nehmen eine inkohärente Kombination dieser Zustände als Ihre Dichtematrix. (Übung für den Leser: Zeigen Sie das$\rho$, so definiert, ist unabhängig von dieser Wahl der Basis.)

Für Ihren speziellen Fall ohne die langweiligen Nullpunktenergien umformuliert als

$H = \sum\limits_{i=1}^N a_i^\dagger a_i$, für$N=3$Oszillatoren und mit voller Energie$3\hbar\omega$, geben$10$Zustände im Ensemble.

Wir haben die Zustände

$$\{|3,0,0⟩,|2,0,1⟩,|2,1,0⟩,|1,2,0⟩, |1,1,1⟩,|1,0,2⟩,|0,3,0⟩, |0,2,1⟩,|0,1,2⟩, |0,0,1⟩\}$$ als orthonormale Basis dieses Eigenraums, also nehmen Sie einfach $\rho$diese Kombination zu sein, $$\rho = \frac{1}{10}\sum_{n_1+n_2+n_3=3} |n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3|.$$

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Um die Messergebnisverteilung für eine einzelne Oszillatorgröße wie einen der einzelnen Sub-Hamilton-Operatoren zu berechnen, können Sie einfach die anderen Hamilton-Operatoren als verfolgen

$$\rho_1 = \mathrm{Tr}_{2,3}\rho,$$ wobei die Teilspur die eindeutige lineare Abbildung ist, so dass $$\mathrm{Tr}_{2,3}|n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3| =|n_1⟩⟨n_1|\ \mathrm{Tr}\bigg[|n_2,n_3⟩⟨n_2,n_3|\bigg] =|n_1⟩⟨n_1|, \tag{$*$}$$ gibt Ihnen ein Ergebnis des Formulars $$\rho_1= p_1|n_1⟩⟨n_1| + p_2|n_2⟩⟨n_2| + p_3|n_3⟩⟨n_3|,$$ was Ihnen dann die Wahrscheinlichkeiten gibt, die Messergebnisse zu erhalten, die jedem dieser Komponentenzustände zugeordnet sind.

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Es könnte jedoch von Vorteil sein, dies vollständig durchzugehen$E=3\hbar \omega$Fall ist eine Menge Plackerei, also werde ich das tun$E=\hbar \omega$Fall statt. Hier haben Sie drei relevante Zustände, was bedeutet, dass Ihr vollständiger Zustand ist

$$\rho = \frac{1}{3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg).$$ Sie möchten dann den reduzierten Zustand, den Sie aus dem vollen Zustand erhalten, indem Sie Oszillatoren nachverfolgen $2$Und $3$: Sie wenden die Teilspur an, Sie zerlegen sie durch Linearität in die einzelnen Faktoren, Sie wenden sie über an $(*)$zu jedem Begriff, und dann addierst du alles: $$\begin{align} \rho_1 & = \mathrm{Tr}_{2,3}(\rho) \\ & = \frac{1}{3}\mathrm{Tr}_{2,3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg) \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|1,0,0⟩⟨1,0,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,1,0⟩⟨0,1,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,0,1⟩⟨0,0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1|\mathrm{Tr}\big(|0,0⟩⟨0,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|1,0⟩⟨1,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|0,1⟩⟨0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1| + |0⟩⟨0| + |0⟩⟨0| \bigg] \\ & = \frac{1}{3}|1⟩⟨1| + \frac{2}{3} |0⟩⟨0|. \end{align}$$ Hoffentlich macht das die Sache klarer.

Die Wahrscheinlichkeit findest du mit der Dichtematrix. Diese Dichtematrix ist ein durch definierter Operator

$\hat{\rho}= e^{-\frac{\hat{H}}{k_BT}}$

mit Boltzmann-Konstante$k_B$und Temperatur$T$. Berechnet man den Operator Erwartungswert erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Energiezustand befindet$\epsilon$.

Das Erweitern eines Quantenzustands in eine Linearkombination von Eigenzuständen des Hamilton-Operators könnte nützlich sein.