Produkte von Gaußschen stochastischen Prozessvariablen

In dem klassischen Experimentalphysik-Text „ Statistical Theory of Signal Detection“ von Carl. W. Helstrom , Kapitel II, Abschnitt 4 betrifft Gaußsche stochastische Prozesse. Ein solcher Prozess wird manchmal beobachtet T 1 , T 2 , T 3 , . . . T N erhalten N zufällige Variablen X 1 , X 2 , X 3 , . . . X N , dann die Wahrscheinlichkeitsdichte für die N Variablen haben die Form:

P N ( X 1 , T 1 ; X 2 , T 2 ; . . . ; X N , T N ) = M N exp ⁡ ( − 0,5 Σ J Σ k μ J k X J X k ) .

Wo μ J k ist eine positiv definite Matrix und M N ist eine Normalisierungskonstante, um eine Einheitswahrscheinlichkeit anzugeben, wenn Sie über alle möglichen Werte integrieren:
M N = ( 2 π ) − N / 2 | det μ | 0,5 ,
Wo μ ist die Determinante der Matrix μ J k . Wir nehmen an, dass die Erwartungswerte alle Null sind: E ( X k ) = 0 .

Er stellt fest, dass der Erwartungswert des Produkts eine beliebige ungerade Zahl von X J Null ist (was aus der Symmetrie zu folgen scheint) und gibt eine Formel für den erwarteten Wert eines Produkts einer geraden Anzahl von Variablen an. Wir definieren ϕ J k als:

ϕ J k = E ( X J X k ) .
Dann stellt er fest:
E ( X 1 X 2 X 3 X 4 ) = ϕ 12 ϕ 34 + ϕ 13 ϕ 24 + ϕ 14 ϕ 23 .

Gibt es einen einfachen Beweis? Und gibt es einen einfachen Beweis, der sich auf die Methoden der Quantenmechanik / Quantenfeldtheorie bezieht?

Ich frage das, weil Gaußsche stochastische Prozesse völlig klassische Physik sind, aber die hier verwendeten Methoden scheinen mir irgendwie an Feynman-Diagramme zu erinnern.

Antworten (2)

Ja, es ist einfach, dies mit momenterzeugenden Funktionen zu beweisen. Und ja, die Mathematik ist sehr eng mit der Quantenfeldtheorie verwandt.

Du rechnest G ( J ) =< e X P ( ∑ J ich X ich ) > wo jeweils J ich ist eine "Quelle" für das entsprechende X ich . Dies lässt sich leicht als etwas wie zeigen G ( J ) = e X P ( ∑ J ich μ ich J − 1 J J ) Um Erwartungswerte zu erhalten, nimmt man dann < X ich X J . . . >= ∂ ∂ J ich ∂ ∂ J J . . . G ( J ) | J = 0 . Der Rest folgt einfach. Insbesondere können Sie sehen, wie die Variablen paarweise gruppiert werden müssen, um beim Setzen ein Ergebnis ungleich Null zu erhalten J = 0 nach Einnahme von Derivaten. Sie haben im Wesentlichen eine Feynman-Erweiterung einer nicht-wechselwirkenden 0-dimensionalen Feldtheorie.

Dies wird gut in Zees „Quantum Field Theory in a Nutshell“ behandelt, wo es eine einfache Anwendung dessen ist, was er die „zentrale Identität der Quantenfeldtheorie“ nennt.

Dies ist vielleicht etwas spät, aber ich wollte nur noch ein paar Dinge kurz ansprechen.

Für den Gaußschen Fall gibt es ein sehr schönes Theorem zum Reduzieren von Ableitungen höherer Ordnung auf ein kombinatorisches Problem (dies kann durch Beziehen der Momente der Zufallsvariablen und ihrer entsprechenden Kumulanten erreicht werden): Theorem von Wick. Es gibt auch eine Verallgemeinerung dieses Satzes, bekannt als der Satz von Isserlis. Diese Techniken treten bei der perturbativen QFT auf.

Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet, aber Ihr Beitrag liest sich wie ein Kommentar und nicht wie eine Antwort. Ich weiß, dass Sie nicht berechtigt sind, Beiträge zu kommentieren. Wenn Sie mir also zustimmen, löschen Sie bitte Ihre „Antwort“.
Damit ist die Frage nicht beantwortet. Sobald Sie über einen ausreichenden Ruf verfügen , können Sie jeden Beitrag kommentieren . Geben Sie stattdessen Antworten an, die keine Klärung durch den Fragesteller erfordern . - Aus Bewertung
Produkte von Gaußschen stochastischen Prozessvariablen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v