Unschärferelation: für ein einzelnes Teilchen?

Am besten versteht man zunächst die Unschärferelation als mathematische Eigenschaft der Wellenfunktion eines Teilchens. Es bedeutet also, dass es mathematisch unmöglich ist, eine Wellenfunktion zu konstruieren, die die Unschärferelation nicht erfüllt.

Dann können wir darüber nachdenken, welche physikalische Bedeutung diese Beziehung haben könnte. Um sich beim ersten Erlernen von QM nicht mit Interpretationsfragen zu verzetteln, halten wir uns am besten an experimentelle (operative) Verfahren, bei denen wir die Unschärferelation testen können. (Dies schiebt nur tiefere Fragen auf – sagt nicht, dass diese tieferen Fragen ohne Interesse oder Bedeutung sind).

Um nun die theoretischen Vorhersagen von QM (die probabilistischer Natur sind) mit experimentellen Ergebnissen in Beziehung zu setzen, müssen wir zwangsläufig mehrere Experimente mit vielen Teilchen durchführen, die alle auf die gleiche Weise präpariert sind, damit sie dieselbe anfängliche Wellenfunktion haben. Wenn wir eine große Menge von Positionsmessungen durchführen, können wir eine Standardabweichung der Position berechnen; Wenn wir einen weiteren großen Satz von Impulsmessungen durchführen (an einem anderen Satz von Teilchen, aber auf die gleiche Weise vorbereitet), können wir eine Standardabweichung des Impulses berechnen. Diese Standardabweichungen werden zwangsläufig die Unschärferelation erfüllen, welches Verfahren auch immer wir zur Herstellung der Teilchen verwendet haben.

Ich sage nicht, dass dies das Ende der Geschichte ist – nur eine gute Möglichkeit, darüber nachzudenken.

Beide Aussagen sind richtig, und Sie haben eine gute und grundlegende Frage, was es heißt, eine Wellenfunktion zu sein. Angenommen, ein Teilchen befindet sich in einem bestimmten Zustand$\psi$, und sagen, dass die Wellenfunktion Ihnen das sagt$exact$Position des Teilchens (in der Fachsprache nennen wir dies einen Zustand bestimmter Position oder Positionseigenzustand; wenn das keinen Sinn ergibt, keine Sorge). Dann können Sie nichts darüber wissen, welchen Impuls es hat (das ist die Aussage der Unschärferelation). Nun, das gilt nicht nur für$this$Partikel. Vielmehr gilt diese Beziehung für$any$Teilchen in diesem Zustand (dh für jedes Teilchen in einem Zustand einer bestimmten Position). Das verstehen sie unter einem „identisch präparierten System“: zwei Systeme, so dass sie sich im exakt gleichen Zustand befinden$\psi$. Jetzt können wir daran denken, nicht nur zwei, sondern$N$Systeme, die alle drin sind$\psi$, und was wir finden, ist, nachdem wir beispielsweise den Impuls jedes Systems gemessen und die Standardabweichung berechnet haben$\Delta p$aller dieser Messungen, die größer oder gleich sein müssen$\frac{\hbar}{2\Delta x}$.