Warum kann das Unsicherheitsprinzip nicht für einzelne Messungen gebrochen werden, wenn es sich um ein statistisches Gesetz handelt?

Unsicherheiten können zwar als Aussagen über Ensembles identisch vorbereiteter Zustände interpretiert werden, sind aber nicht so definiert. Sie nehmen einen Zustand an$\psi$und dann die Ungewissheit$\sigma_\psi(A) = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2}$für alle beobachtbaren$A$ist einfach eine Eigenschaft dieses Staates.

Ein Zustand, der einen bestimmten Impuls von Null hat, müsste ein Eigenzustand des Impulses sein. Das kannst du direkt zeigen$\sigma_\psi(A) = 0$für einen Eigenzustand von$A$. Also jeder Zustand, der eine wohldefinierte hat$\sigma_\psi(x)$kann kein Eigenzustand des Impulses sein, da die Unschärferelation impliziert$\sigma_\psi(p)\neq 0$. Beachten Sie, dass dieses Argument zeigt, dass Sie im Allgemeinen keine eigenen "Zustände" von Ort oder Impuls haben können, wenn beides der Fall ist$\sigma_\psi(x)$Und$\sigma_\psi(p)$existieren.

"Es kann keinen Impuls von Null haben" soll nicht bedeuten, dass es unmöglich ist, einen Impuls von 0 zu messen - nur dass es kein Eigenzustand ist, bei dem das einzig mögliche Ergebnis für Impuls Null ist (oder tatsächlich irgendein anderer Impulswert).

Etwas schlampig formuliert könnte sich „It can’t have zero momentum“ auch auf den Erwartungswert der Impulsgröße beziehen : Wenn$\sigma_\psi(p)\neq 0$, dann seit$\sigma_\psi(p)\leq \sqrt{\langle p^2\rangle}$wir haben das$\langle p^2\rangle$ist auch nicht null.

(Dieser erste Abschnitt bezieht sich auf v1 des Beitrags)

Nun, mathematisch bedeutet dies, dass wir eine große Anzahl von Zuständen vorbereiten$|Ψ⟩$und Messungen der Position und des Impulses an ihnen durchführen (nicht mehr als 1 Messung an einem vorbereiteten System durchführen) ...

Erster Fehler. Messen zum Beispiel$X$auf einem Zustand gibt Ihnen einen neuen Zustand, also das Ergebnis$\Delta p$Sie erhalten von nachfolgenden Impulsmessungen keinen Bezug (durch das HUP) zu den vorherigen$\Delta x$Sie erhalten.

Das HUP ist eine Aussage über Messungen von$X$oder$P$ getrennt auf eine große Anzahl ähnlicher Zustände. Nehmen Sie also eine große Anzahl ähnlicher Zustände und messen Sie$X$für jeden zu bekommen$\Delta x$. Nehmen Sie eine weitere größere Anzahl ähnlicher Zustände und messen Sie ihre Dynamik, um sie zu erhalten$\Delta p$. Die HUP sagt, egal mit welchem ​​Zustand Sie angefangen haben, Sie werden immer finden$\Delta x\cdot\Delta p$nicht kleiner sein als$\hbar/2$.

...der RMS-Wert der Abweichung vom Mittelwert für beide zeigt eine umgekehrte Beziehung zueinander.

Zweiter Fehler. Wenn Sie mehrere ähnliche Zustände haben und die obigen Schritte ausführen, erhalten Sie einen einzigen $\Delta x$und eine einzelne $\Delta p$. Es ist kein umgekehrter Zusammenhang zu finden.

Nehmen wir jedoch an, wir würden dann einen anderen Zustand einnehmen und dasselbe Verfahren durchführen, und sagen wir mal$\Delta x$ist jetzt kleiner als vorher. Zum Neuen können wir noch nichts sagen$\Delta p$.$\Delta p$könnte zunehmen oder abnehmen; alles, was wir wissen würden, ist das$\Delta x\cdot\Delta p$kann nicht kleiner sein als$\hbar/2$. Allerdings, wenn die vorherige$\Delta x\cdot\Delta p$war genau gleich$\hbar/2$, dann könnten wir einen größeren garantieren$\Delta p$weil die HUP halten muss.

Wie führt dies nun zu einer Einschränkung der einzeln gemessenen Werte von Ort und Impuls?

Das tut es nicht. Über Einzelmessungen sagt die HUP nichts aus.

Wie können wir Behauptungen aufstellen, dass das Teilchen auf diese Box beschränkt ist, sodass es keinen Nullimpuls haben kann und so weiter?

Sie können sicherlich eine machen$0$Impulsmessung. Das verstößt nicht gegen die HUP. Das HUP würde verletzt, wenn$\Delta p=0$, dh wenn jede Impulsmessung unserer großen Sammlung ähnlicher Zustände uns jedes Mal den gleichen Wert lieferte.

Um den Titel dann anzusprechen:

Warum kann das Unsicherheitsprinzip nicht für einzelne Messungen gebrochen werden, wenn es sich um ein statistisches Gesetz handelt?

Wie oben ausgeführt, sagt das HUP nichts über Einzelmessungen aus. Es legt nur eine Grenze für das Produkt der "Spreads" von zwei Arten von Messungen fest.

Alle Messungen in QM werden als Ensemble-Messungen verstanden, dh sie werden an vielen Teilchen/Systemen durchgeführt, die auf die gleiche Weise "vorbereitet" sind. Eine Messung stört das System, daher kann sie nie zweimal auf demselben System durchgeführt werden. Das Messen von zwei nicht pendelnden Bedienern auf demselben System würde zwei Messungen erfordern, daher kann es nicht auf einem System durchgeführt werden. Aber aufeinanderfolgende Messungen können tatsächlich gegen das Unsicherheitsprinzip verstoßen, bevor wir genügend Daten für zuverlässige statistische Schlussfolgerungen sammeln.

Aktualisierung
Es ist notwendig, zwischen dem mathematischen und dem Stichprobenmittel zu unterscheiden. Mathematisch definieren wir also den Mittelwert und die Varianz einer Größe als

$$\langle A\rangle = \int dx \psi^*(x)\hat{A}\psi(x),\\ \langle (\Delta A)^2\rangle = \int dx \psi^*(x)(\hat{A}-\langle A\rangle)^2\psi(x)$$ Die auf solche mathematischen Größen angewendete Unsicherheitsrelation ist eine strenge mathematische Aussage, die keine Zweideutigkeit zulässt.

Im Experiment werden wir jedoch Messungen haben$\mathbf{A}=(A_1, A_2, ..., A_N)$und Probenmittelwerte berechnen

$$\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i,\\ var(x) = \overline{(x -\overline{x})^2} = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2$$ Diese Mittelwerte sind selbst Zufallsgrößen, die sich nur bedingt den mathematischen Mittelwerten annähern$N\rightarrow\infty$(Faktor beachten$1/(N-1)$in der Definition der Invarianz - wenn es so wäre$1/N$, wäre die Schätzung verzerrt , dh sie würde sich nie dem theoretischen Wert annähern). Also für endlich$N$Es ist durchaus möglich, dass die Stichprobenvarianzen die Unsicherheitsrelation nicht erfüllen.

Zusammenfassend: Die physikalische Bedeutung der Unsicherheitsrelation ist statistisch. Genauer:

• sie gilt nur für ein Ensemble von Messungen
• es kann nicht für eine einzelne Messung verwendet werden (außerdem können zwei nicht kommutierende Größen nicht gleichzeitig gemessen werden)

Die Quantenmechanik lässt sich nicht auf das HUP reduzieren. Es gibt einige grundlegende Axiome des QM und daraus folgt das HUP. Die relevanten Axiome sind hier:

1. Quantenzustände sind Vektoren$\psi$in einem Hilbertraum$\mathbf{H}$.
2. Observables sind Operatoren$A: \mathbf{H} \rightarrow\mathbf{H}$
3. Die Messergebnisse können nur die Eigenwerte des entsprechenden Operators sein.
4. Das Messergebnis ist zufällig (d. h. im Allgemeinen nicht erkennbar). Die Wahrscheinlichkeit, den Wert zu messen$a$ist durch das absolute Quadrat des Overlab gegeben$\langle \phi_a |\psi \rangle$des Quantenzustands und des Eigenvektors von$A$, entsprechend dem Eigenwert$a$

Daher ist der Wert einer Observablen für einen gegebenen Zustand nur bekannt , wenn der Quantenzustand ein Eigenzustand dieser Observablen ist (zB unmittelbar nach einer Messung). Daraus folgt, dass wir den Wert zweier Observablen nur dann gleichzeitig kennen können, wenn der Zustand gleichzeitig ein Eigenzustand beider Observablen ist. Dies ist nur möglich, wenn die beiden Observablen pendeln.

Wie können wir Behauptungen aufstellen, dass das Teilchen auf diese Box beschränkt ist, sodass es keinen Nullimpuls haben kann und so weiter?

Haben Sie diese Behauptung gesehen? Es ist bestenfalls eine Abkürzung für etwas anderes und im schlimmsten Fall einfach falsch. Erstens sollte man vom Erwartungswert oder Messwert eines Teilchens sprechen, anstatt davon, dass es nur einen Wert hat. Der Erwartungswert des Impulses eines in einem Kasten eingeschlossenen Teilchens kann durchaus Null sein; Wenn es auf eine Box beschränkt ist und sich die Box nicht bewegt, muss der erwartete Gesamtwert Null sein (es gibt Zustände, in denen der erwartete Wert im Laufe der Zeit variiert, aber der Durchschnitt immer noch Null ist).

Die Wahrscheinlichkeit, dass der gemessene Wert seines Impulses Null ist, ist Null (d. h.$p(\text{momentum}=0)=0$), aber das liegt nur daran, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen bestimmten Wert handelt, null ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für seinen Impuls wird für Normalzustände bei Null am höchsten sein.

Eine andere korrekte Aussage wäre, dass der Impuls nicht auf Null beschränkt werden kann.