Positionswahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens in einem unendlichen quadratischen Brunnen: klassisch versus quantenmechanisch

Question

Positionswahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens in einem unendlichen quadratischen Brunnen: klassisch versus quantenmechanisch

Sumant

Die Wellenfunktion für ein einzelnes Teilchen in einem Potentialtopf der Breite $L$ ist durch die Relation gegeben

Ψ_{N} (X) = \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (K_{N} X)

$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac 2L} \sin(K_n x)$ Wo

K_{n}

$K_n$ Ist

(n + 1) π / L

$(n+1)\pi/L$ Und

n

$n$ ist eine positive ganze Zahl.

Quantenmechanische Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Grundzustandswellenfunktion hat $n=0$ , So $K_n = \pi / L$ und so $\text{Re}(\Psi_0(x))$ sieht aus wie

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Wellenfunktion ist $|\Psi_0|^2$ , die ein $\sin^2$ Funktion und auf der gleichen Domäne ist der Graph

Klassische mechanische Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Betrachten Sie das gleiche Problem klassisch: Ein Teilchen befindet sich mit etwas Energie in der Box $E$ . Klassischerweise hat es einen gewissen Schwung und bewegt sich um die Box herum, wobei es von den Wänden hin und her springt. Dieses Teilchen verbringt an allen Punkten in der Box die gleiche Zeit, während es sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Intuitiv sollte die Wahrscheinlichkeitsverteilung also konstant sein, dh ich finde sie genauso wahrscheinlich in der Nähe der Wand wie in der Mitte des Kastens. Entsprechend sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung so aus:

Warum sind die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen so unterschiedlich? Im Quantenfall befindet sich das Teilchen eher in der Nähe des Zentrums und hat eine geringe Wahrscheinlichkeit, in der Nähe der Wände zu sein. Klassischerweise sollte die Wahrscheinlichkeit einheitlich sein, daher ist der Quantenfall nicht intuitiv. Ich weiß, dass die quantenmechanische Beschreibung bei niedrigen Energien richtig ist, aber gibt es eine intuitive Erklärung dafür, warum sich die Quantenwahrscheinlichkeitsverteilung so eklatant von der klassischen unterscheidet?

ACuriousMind

Ich verstehe nicht, nach welcher Art von Antwort Sie suchen, außer "Sie sind anders, weil sich die Quantenmechanik wirklich von der klassischen Mechanik unterscheidet". Außerdem vergleichen Sie hier Äpfel mit Birnen: Der quantenmechanische Fall hat vollständige Informationen über den Zustand des Teilchens, während die klassische Wahrscheinlichkeit nur entsteht, weil Ihnen Informationen über das Teilchen (nämlich seine Position) fehlen, die Sie im Prinzip haben könnten. Diese beiden Situationen sind wirklich sehr unterschiedlich, und ich verstehe nicht, warum Sie erwarten würden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ähnlich sind.

Sumant

Ja, mit so einer Antwort habe ich gerechnet. Eine schärfere, klarere Frage, die ich hatte, war unabhängig von der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, warum das Teilchen eine viel höhere Wahrscheinlichkeit hat, in der Mitte des Wells statt an den Rändern entdeckt zu werden? Ist das etwas Besonderes für einen unendlichen Potentialtopf?

ZeroTheHero

@Sumant Das gleiche passiert mit dem harmonischen Oszillator (wenn auch aus anderen Gründen). Beachten Sie, dass das Korrespondenzprinzip darauf hinweist, dass Quanten- und klassische Verteilungen schließlich an der Grenze großer Quantenzahlen zusammenfallen müssen. Wenn Sie sich den Grundzustand als den am wenigsten klassischen Zustand vorstellen, können Sie sich vorstellen, dass dies der Zustand ist, für den die Verteilungen am unterschiedlichsten sein werden.

Daniel Sank

@ACuriousMind Es gibt viele Fälle, in denen Quanten und Klassik nicht so unterschiedlich sind, daher könnte eine Diskussion darüber angebracht sein, warum der unendliche Brunnen so nicht klassisch ist.

Benutzer183966

@DanielSank respektvoll Ich frage mich, ob es notwendig ist, Sumants Frage so ausführlich zu bearbeiten? Es scheint, dass einige der Änderungen nicht unbedingt erforderlich sind und in einigen Fällen die Frage nicht wirklich klarer machen. Außerdem gibt es den Nebeneffekt, dass das Zitat der Frage in meiner Antwort nicht mehr in der Frage vorhanden ist. Mir ist klar, dass das nicht wichtig ist, aber es scheint eine Schande zu sein, wenn die Bearbeitung selbst nicht so notwendig ist. Natürlich gibt es auch Stellen, an denen es durch den Schnitt deutlich besser geworden ist.

Daniel Sank

@ user183966 Als ich mir die Frage zum ersten Mal ansah, fand ich sie schwer zu lesen. Ich fand auch, dass mehr als eine Frage gestellt wurde, was meiner Meinung nach ein großes Problem darstellt. Meine Änderung wurde in gutem Glauben vorgenommen, um die Frage klarer und besser für die Website geeignet zu machen. Es kann gut sein, dass ich über das Notwendige hinausgegangen bin, aber ich denke, die Frage ist jetzt besser gestellt. Sie können natürlich gerne Ihre eigene Bearbeitung hinzufügen, wenn Sie dies für angebracht halten.

Daniel Sank

Das Ziel dieser Website ist es, qualitativ hochwertige Inhalte zu erstellen. Ich mache Änderungen, um dieses Ziel zu erreichen. Ich vermute, dass Sie meiner Bearbeitung teilweise nicht zustimmen, um Sumant in irgendeiner Weise zu schützen. Das ist gut so, denn es kann sein, dass User ein schlechtes Gewissen haben, wenn ihre Inhalte nicht gut ankommen. Ich denke jedoch, dass es für den Benutzer am besten ist, die Änderungen zu sehen und zu verstehen, wie sie den Inhalt verbessern, ohne sich Gedanken über eine persönliche Anhänglichkeit an den Beitrag zu machen.

Benutzer183966

@DanielSank Ok, ich denke, wir sehen den Nutzen der Änderungen etwas anders, aber es ist ein sehr kleines Problem.

Antworten (1)

Positionswahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens in einem unendlichen quadratischen Brunnen: klassisch versus quantenmechanisch

Ich verstehe nicht, nach welcher Art von Antwort Sie suchen, außer "Sie sind anders, weil sich die Quantenmechanik wirklich von der klassischen Mechanik unterscheidet". Außerdem vergleichen Sie hier Äpfel mit Birnen: Der quantenmechanische Fall hat vollständige Informationen über den Zustand des Teilchens, während die klassische Wahrscheinlichkeit nur entsteht, weil Ihnen Informationen über das Teilchen (nämlich seine Position) fehlen, die Sie im Prinzip haben könnten. Diese beiden Situationen sind wirklich sehr unterschiedlich, und ich verstehe nicht, warum Sie erwarten würden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ähnlich sind.
Ja, mit so einer Antwort habe ich gerechnet. Eine schärfere, klarere Frage, die ich hatte, war unabhängig von der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, warum das Teilchen eine viel höhere Wahrscheinlichkeit hat, in der Mitte des Wells statt an den Rändern entdeckt zu werden? Ist das etwas Besonderes für einen unendlichen Potentialtopf?
@Sumant Das gleiche passiert mit dem harmonischen Oszillator (wenn auch aus anderen Gründen). Beachten Sie, dass das Korrespondenzprinzip darauf hinweist, dass Quanten- und klassische Verteilungen schließlich an der Grenze großer Quantenzahlen zusammenfallen müssen. Wenn Sie sich den Grundzustand als den am wenigsten klassischen Zustand vorstellen, können Sie sich vorstellen, dass dies der Zustand ist, für den die Verteilungen am unterschiedlichsten sein werden.
@ACuriousMind Es gibt viele Fälle, in denen Quanten und Klassik nicht so unterschiedlich sind, daher könnte eine Diskussion darüber angebracht sein, warum der unendliche Brunnen so nicht klassisch ist.
@DanielSank respektvoll Ich frage mich, ob es notwendig ist, Sumants Frage so ausführlich zu bearbeiten? Es scheint, dass einige der Änderungen nicht unbedingt erforderlich sind und in einigen Fällen die Frage nicht wirklich klarer machen. Außerdem gibt es den Nebeneffekt, dass das Zitat der Frage in meiner Antwort nicht mehr in der Frage vorhanden ist. Mir ist klar, dass das nicht wichtig ist, aber es scheint eine Schande zu sein, wenn die Bearbeitung selbst nicht so notwendig ist. Natürlich gibt es auch Stellen, an denen es durch den Schnitt deutlich besser geworden ist.
@ user183966 Als ich mir die Frage zum ersten Mal ansah, fand ich sie schwer zu lesen. Ich fand auch, dass mehr als eine Frage gestellt wurde, was meiner Meinung nach ein großes Problem darstellt. Meine Änderung wurde in gutem Glauben vorgenommen, um die Frage klarer und besser für die Website geeignet zu machen. Es kann gut sein, dass ich über das Notwendige hinausgegangen bin, aber ich denke, die Frage ist jetzt besser gestellt. Sie können natürlich gerne Ihre eigene Bearbeitung hinzufügen, wenn Sie dies für angebracht halten.
Das Ziel dieser Website ist es, qualitativ hochwertige Inhalte zu erstellen. Ich mache Änderungen, um dieses Ziel zu erreichen. Ich vermute, dass Sie meiner Bearbeitung teilweise nicht zustimmen, um Sumant in irgendeiner Weise zu schützen. Das ist gut so, denn es kann sein, dass User ein schlechtes Gewissen haben, wenn ihre Inhalte nicht gut ankommen. Ich denke jedoch, dass es für den Benutzer am besten ist, die Änderungen zu sehen und zu verstehen, wie sie den Inhalt verbessern, ohne sich Gedanken über eine persönliche Anhänglichkeit an den Beitrag zu machen.
@DanielSank Ok, ich denke, wir sehen den Nutzen der Änderungen etwas anders, aber es ist ein sehr kleines Problem.

Benutzer183966 · Answer 1

Wie in den Kommentaren angemerkt, lautet die Antwort in gewisser Hinsicht einfach: „Weil Quantenmechanik und klassische Mechanik unterschiedliche Theorien sind, werden einige der Vorhersagen unterschiedlich sein“.

Ich denke jedoch, dass es möglich ist, weiter zu gehen, insbesondere in Bezug auf Ihre Fragen "Warum sind die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen so unterschiedlich?" und "Ist die klassische Intuition bei niedrigeren Energien sehr schlecht oder ist sie etwas Tieferes?".

Es gibt Quantenzustände, die klassischen Zuständen sehr ähnlich sind, die durch die Kombination vieler Energieniveaus entstehen. In dem System des "harmonischen Oszillators", das dem von Ihnen verwendeten "quadratischen Brunnen" ziemlich ähnlich ist, sind diese gut untersucht und werden als "kohärente Zustände" bezeichnet. Sie teilen viele Eigenschaften mit der klassischen Mechanik. Die Wellenfunktion sieht aus wie ein „Klecks“, der wie ein klassisches Teilchen hin und her springt. Wenn Sie einen geeigneten "Blob" konstruieren (der durch Hinzufügen kleiner Mengen der unendlichen Anzahl aller Energie-Eigenzustände entsteht), wird er ziemlich ähnlich wie ein klassisches Teilchen um das Quadrat herum hüpfen. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit über einen geeigneten Zeitraum integrieren/mitteln, sieht sie der klassischen Gleichverteilung viel ähnlicher aus.

Um Ihre Frage zu beantworten, die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind sehr unterschiedlich, weil Sie einen einzigen Energiezustand gewählt haben. Einzelne Energiezustände unterscheiden sich stark von klassischen Teilchenzuständen.

Diese Argumentation zeigt auch, warum die Quantenmechanik besonders bei niedrigen Energieniveaus besser ist als die klassische Mechanik. Auf niedrigen Energieniveaus, um die wenigen unteren Energiezustände herum, kann ein Teilchen nicht in einer Kombination vieler Zustände sein, weil wir gerade gesagt haben, dass es nur in den wenigen niedrigsten Zuständen ist. Daher wissen wir, dass es sich nicht in einem der Zustände befindet, die klassischere Eigenschaften haben, die durch die Kombination sehr vieler Energieniveaus entstehen, und daher kann nur die Quantenmechanik gut funktionieren.

Positionswahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens in einem unendlichen quadratischen Brunnen: klassisch versus quantenmechanisch

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Quantenmechanische Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Klassische mechanische Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Daniel Sank

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