Warum ist ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x' \rangle=\delta(xx')? [Duplikat]

Question

Warum ist ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x' \rangle=\delta(xx')? [Duplikat]

Physik
Wahrscheinlichkeit
Hilbert-Raum
Normalisierung
Quantenmechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

Physik

Ich habe versucht, eine Lösung oder einen Beweis dafür zu finden

⟨ X | X^{'} ⟩ = δ (X - X^{'}),

$\langle x| x' \rangle=\delta(x-x'),$ aber ich bin nur zu diesem Beitrag gekommen: Wellenfunktion und Dirac-Braket-Notation

So bekam ich die Information, dass der Vektor $|x\rangle$ bilden eine Dirac-normalisierte Basis für den Hilbert-Raum.

Ich weiß, dass die Dirac-Delta-Verteilung wie folgt definiert ist:

δ (X - X^{'}) = {\begin{cases} 0 & Wenn X \neq X^{'} \\ \infty & Wenn X = X^{'} \end{cases},

$\delta(x-x') = \begin{cases} 0 &\mbox{if } x\neq x' \\ \infty & \mbox{if } x=x' \end{cases},$ das bedeutet, dass mein x' ein Punkt auf meiner x-Achse ist, wo ich meine unendlich hohe Spitze habe. Und auch

\int_{- \infty}^{\infty} D X \cdot δ (X - X^{'}) = 1.

$\int_{-\infty}^{\infty}dx\cdot \delta(x-x')=1.$

Aber wie korreliert man das eigentlich mit dem Skalarprodukt der Vektoren x, x' im Hilbert-Raum, die eine sogenannte 'dirakl-normierte' Basis davon bilden?

Könnt ihr mir dazu bitte ein paar Tipps geben? Oder vielleicht kennst du tatsächlich einen Link, wo das erklärt wird.

Benutzer95137

Mögliches Duplikat von Unterschieden zwischen Orthogonalität und Kronecker-Delta-Funktion?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/89958/2451 , physical.stackexchange.com/q/273423/2451 und Links darin.

Bob Knighton

Keine Antwort (die unten sind perfekt), aber ein bisschen ein Nit-Pick. Der

δ

$\delta$ -Funktion wird nicht so definiert, wie Sie es sagen, sondern durch die Tatsache, dass

F (X) = \int_{- \infty}^{\infty} D j F (j) δ (X - j)

$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Für alle wohlerzogenen Funktionen

f (x)

$f(x)$ . Ich weiß, das fühlt sich pedantisch an, aber es ist wirklich gut, sicherzustellen, dass Sie Ihre Definition nur als intuitiven Ausgangspunkt für das Verständnis der Verteilung in physikalischen Kontexten verwenden (

δ

$\delta$ -Funktionspotentiale oder Ladungen).

FraSchelle

Mögliches Duplikat von Wie wird die "Normalisierung" von nicht normalisierbaren Zuständen gewählt?

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Warum ist ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x' \rangle=\delta(xx')? [Duplikat]

Mögliches Duplikat von Unterschieden zwischen Orthogonalität und Kronecker-Delta-Funktion?
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/89958/2451 , physical.stackexchange.com/q/273423/2451 und Links darin.
Keine Antwort (die unten sind perfekt), aber ein bisschen ein Nit-Pick. Der $\delta$ -Funktion wird nicht so definiert, wie Sie es sagen, sondern durch die Tatsache, dass $F (X) = \int_{- \infty}^{\infty} D j F (j) δ (X - j)$ $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Für alle wohlerzogenen Funktionen $f(x)$ . Ich weiß, das fühlt sich pedantisch an, aber es ist wirklich gut, sicherzustellen, dass Sie Ihre Definition nur als intuitiven Ausgangspunkt für das Verständnis der Verteilung in physikalischen Kontexten verwenden ( $\delta$ -Funktionspotentiale oder Ladungen).
Mögliches Duplikat von Wie wird die "Normalisierung" von nicht normalisierbaren Zuständen gewählt?

Alfred Centauri · Answer 1

Kommt es nicht nur aus dem Siebgut ?

F (X) = \int D X^{'} F (X^{'}) δ (X - X^{'})

$f(x) = \int\mathrm{d}x'\;f(x')\,\delta(x - x')$

Das heißt, wenn Sie das Obige akzeptieren und wenn Sie das akzeptieren

| ψ ⟩ = \int D X^{'} ψ (X^{'}) | X^{'} ⟩

$|\psi\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,|x'\rangle$

Dann

ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩ = ⟨ X | \int D X^{'} ψ (X^{'}) | X^{'} ⟩ = \int D X^{'} ψ (X^{'}) ⟨ X | X^{'} ⟩

$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle = \langle x| \int \mathrm{d}x'\,\psi(x') \,|x'\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,\langle x|x'\rangle$

\Rightarrow ⟨ X | X^{'} ⟩ = δ (X - X^{'})

$\Rightarrow \langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$

Das Argument ist nicht schlüssig. So kann man nur darauf schließen $\langle x| x'\rangle - \delta(x,x')$ produziert $0$ wenn mit irgendeiner Funktion beschmiert, nicht $\langle x| x'\rangle = \delta(x,x')$ ...
@ValterMoretti: Dieser Punkt interessiert mich – könnten Sie das näher erläutern?
Es gibt nicht viel zu erklären: von $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \langle x|x'\rangle$ Und $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \delta(x-x')$ du erhältst $0 = \int \psi (x') (\langle x|x'\rangle - \delta(x-x'))$ für jeden $\psi$ . Bedeutet es $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ ?
Ohne eine genaue Definition der "Delta-Funktion", eine Auswahl der relevanten Klasse von Funktionen usw. ist es schwierig, eine strenge Argumentation zu entwickeln. Was wir sagen können, ist nur, dass die formalen Manipulationen der Symbole darauf hindeuten $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ .
@ValterMoretti: Da ich neu in der "ket" -Notation bin, ist die Ausarbeitung hilfreich und der Punkt scheint sehr klar zu sein. Gibt es eine Modifikation des Arguments, die schlüssig ist?
Vielleicht reicht es auf dieser Ebene des Formalismus, schließlich geht es um die praktische Anwendung von Mathematik in der Physik, nicht um Mathematik. Wie Sie wahrscheinlich wissen $\delta$ ist keine Funktion und die von Ihnen geschriebene "Definition" ist inkonsistent: If $\delta$ wo eine Funktion, da $\{x_0\}$ Nullmaß hat, würden Sie erhalten $\int \delta(x-x_0) dx=0$ selbst wenn $\delta(0) = \infty$ .
Um dieses Argument auf dieser Genauigkeitsebene schlüssig zu machen, reicht es aus, ein schlampiges Axiom wie dieses anzunehmen " $\int f(x) g(x) dx=0$ für alle $g$ impliziert $f(x)=0$ für alle $x$ "...
(Übrigens habe ich für +1 Alfred Centauris Antwort gestimmt)
@ValterMoretti, deine Antworten hier liegen oft über meinem Verständnis, aber ich lese sie immer gerne. Vielen Dank für Ihre positive Bewertung.

JG · Answer 2

Überzeugen Sie sich zuerst davon, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum, den Sie sich leicht in Notation vorstellen können, vertrauter ist als Braket, $\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i\right|$ ist der Identitätsoperator, bei dem die Summe über Elemente ist $\left|i\right\rangle$ einer orthonormalen Basis. In der Tat,

\sum_{ich} | ich ⟩ ⟨ ich | J ⟩ = \sum_{ich} | ich ⟩ δ_{ich J} = | J ⟩

$\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i|j\right\rangle=\sum_i \left|i\right\rangle\delta_{ij}=\left|j\right\rangle$ beweist, dass die mutmaßliche Identität wie erwartet auf Basiselementen wirkt, und der allgemeine Fall folgt dann aus der Linearität. Alles, was wir brauchten, war die Orthonormalitätsbedingung

⟨ i | j ⟩ = δ_{i j}

$\left\langle i|j\right\rangle=\delta_{ij}$ .

Als nächstes gehen wir in einen Raum, der nicht nur unendlich dimensional ist, sondern ein kontinuierliches Spektrum von Basiselement-Etiketten hat. Unser Identitätsoperator ist jetzt ein Integral statt einer Summe, $\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x\right|$ . Wir wollen

| X^{'} ⟩ = \int D X | X ⟩ ⟨ X | X^{'} ⟩,

$\left|x'\right\rangle=\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle,$ was eindeutig wahr ist, iff

| x ⟩ ⟨ x | x^{'} ⟩ = δ (x - x^{'})

$\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle=\delta\left( x-x'\right)$ .

Warum ist ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| x' \rangle=\delta(xx')? [Duplikat]

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