Normierung der Eigenfunktion auf die Dirac-Delta-Funktion

Question

Normierung der Eigenfunktion auf die Dirac-Delta-Funktion

Physik
Hilbert-Raum
Normalisierung
Fourier-Transformation
Quantenmechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

PersonMitName

Im ersten Kapitel von Principles of Quantum Mechanics von R. Shankar beschreibt er das Finden der Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators $K=-iD=-i\frac{d}{dx}$ . Für den Kontext tut er dies:

Was ich nicht verstehe ist, wie er darauf gekommen ist $A=1/\sqrt{2\pi}$ . Es scheint, weil wir (da dies ein unendlich dimensionaler Raum ist) auf die Dirac-Delta-Funktion normalisieren wollen, aber ich verstehe nicht warum

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ich (k - k^{'}) X} D X = δ (k - k^{'}) . \end{matrix}

$\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i(k-k')x}dx=\delta(k-k').\tag{*}$ Er erklärt das nicht wirklich. Wie normalisiert er es?

DanielC

Delta Dirac ist eine wohldefinierte temperierte Verteilung. Als solche gibt es dafür eine wohldefinierte Fourier-Transformation einer Funktion.

F (f (x)) = δ (k - k^{'})

$\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$

QMechaniker

Wenn es bei Ihrer Frage nur um die Normalisierung der letzten Formel (*) geht, dann handelt es sich um eine reine Mathematikfrage , die in der Fourier-Theorie erklärt wird.

PersonMitName

Ok, ich habe wahrscheinlich noch nicht die mathematische Maschinerie. Ich werde dies für jetzt bis später als selbstverständlich ansehen. Danke schön.

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Normierung der Eigenfunktion auf die Dirac-Delta-Funktion

Delta Dirac ist eine wohldefinierte temperierte Verteilung. Als solche gibt es dafür eine wohldefinierte Fourier-Transformation einer Funktion. $\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$
Wenn es bei Ihrer Frage nur um die Normalisierung der letzten Formel (*) geht, dann handelt es sich um eine reine Mathematikfrage , die in der Fourier-Theorie erklärt wird.
Ok, ich habe wahrscheinlich noch nicht die mathematische Maschinerie. Ich werde dies für jetzt bis später als selbstverständlich ansehen. Danke schön.

Frobenius · Answer 1

Für eine Funktion $f(x)$ Die Fourier-Transformation ist definiert als:

\begin{matrix} (01) & \tilde{F} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (X) e^{ich k X} D X \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!f\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx \tag{01}\label{01} \end{equation}$ Diese Transformation ist invertierbar, das heißt:

\begin{matrix} (02) & F (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{F} (k) e^{- ich X k} D k \end{matrix}

$\begin{equation} f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{02}\label{02} \end{equation}$

Mit, Gleichung $\eqref{01}$ Erträge:

\begin{matrix} (03) & \tilde{δ} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (X) e^{ich k X} D X = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{\delta}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\delta\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ Das heißt, die Fourier-Transformation der

δ

$\delta$ -Funktion ist die Konstante

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$ . Gleichung

(02)

$\eqref{02}$ gibt:

\begin{matrix} (04) & δ (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich X k} D k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ich X k} D k \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk =\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Dies wird manchmal als integrale Definition von bezeichnet $\delta$ -Funktion.

Austausch der Rollen vonUndin Gleichung $\eqref{04}$ , wird die Definition:

\begin{matrix} (05) & δ (k) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ich k X} D X \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ikx}\mathrm dx \tag{05}\label{05} \end{equation}$

Ersetzenin Gleichung $\eqref{05}$ mit $k-k'$ wir kommen an:

\begin{matrix} (06) & δ (k - k^{'}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ich (k - k^{'}) X} D X \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k-k'\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}i(k-k')x}\mathrm dx \tag{06}\label{06} \end{equation}$ Das ist die Gleichung, die Shankar verwendet hat.

@Mohamed Anwar: Ich habe Ihre Bearbeitung genehmigt. Vielen Dank.

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DanielC

QMechaniker

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Frobenius

Frobenius

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