Quantenmechanik: Wie genau funktioniert die "Delta-Funktionsnormalisierung" für Eigenfunktionen im 1-d-Freiraumfall?

Question

Quantenmechanik: Wie genau funktioniert die "Delta-Funktionsnormalisierung" für Eigenfunktionen im 1-d-Freiraumfall?

Physik
Hilbert-Raum
Normalisierung
Fourier-Transformation
Quantenmechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

Benutzer3336365

Die Definition von "Delta-Funktionsnormalisierung" besagt, dass eine Basis von Eigenfunktionen eines Teilchens im freien Raum orthonormal ist, wenn

\int_{- \infty}^{\infty} ϕ_{N}^{*} (\vec{R}) ϕ_{M} (\vec{R}) D \vec{R} = δ_{N, M}

$\int_{-\infty}^{\infty}\phi_n^*(\vec{r})\phi_m(\vec{r})\mathrm{d}\vec{r}=\delta_{n,m}$ Wo

δ_{n, m}

$\delta_{n,m}$ ist die Kronecker-Delta-Funktion.

Betrachten Sie daher ein Teilchen im eindimensionalen freien Raum. Die Ortseigenfunktionen des Teilchens haben die Form $\phi_{position}=\delta_n(x-x_n)$ , und seine Impuls-Eigenfunktionen $\phi_{momentum} =e^{ik_nx}$ .

Ich verstehe, dass Positionseigenfunktionen orthonormal sind, da man die Siebungseigenschaft der Deltafunktionen in der folgenden Formel verwenden und zeigen kann, dass Positionseigenfunktionen tatsächlich orthonormal im Sinne der Deltafunktionsnormalisierung sind. Mit anderen Worten

\int_{- \infty}^{\infty} δ_{N}^{*} (X - X_{N}) δ_{M} (X - X_{M}) D X = δ_{N}^{*} (X - X_{N}) δ_{M} (X - X_{M}) = δ (X_{N} - X_{M}) = δ_{N, M}

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta_{n}^*(x-x_n)\delta_{m}(x-x_m)\mathrm{d}x=\delta_{n}^*(x-x_n)\delta_{m}(x-x_m)=\delta(x_n-x_m)=\delta_{n,m}$

Es fällt mir jedoch schwer, dieselbe Definition auf Impuls-Eigenfunktionen wie anzuwenden

\int_{- \infty}^{\infty} (e^{ich k_{N} X})^{*} e^{ich k_{M} X} D X = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ich (k_{N} - k_{M}) X} D X

$\int_{-\infty}^{\infty}(e^{ik_nx})^*\ e^{ik_mx}\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k_n-k_m)x}\mathrm{d}x$ wo wenn

n = m

$n=m$ , dann wird die Gleichung

\int_{- \infty}^{\infty} 1 d x = \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x=\infty$ ; und wenn

n \neq m

$n\ne m$ , dann bleibt die Gleichung oszillierend und konvergiert nicht.

In beiden Fällen ist nicht klar, ob das Integral die Definition der Deltafunktionsnormierung erfüllt. Für die $n=m$ Fall, $\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty$ könnte ein beliebiges Vielfaches der Delta-Funktion sein, dh $\delta$ , $2\delta$ , $3\delta$ , etc., da die Definition der Unendlichkeit vage ist. Andererseits wann $n\ne m$ , verschwindet das Integral nicht gegen Null und erfüllt somit nicht die Definition.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Verwirrung, die ich hier habe, mit den Definitionen der Integration verallgemeinerter Funktionen und der Fourier-Transformation zusammenhängt. Weil Moden in der Fourier-Transformation auch orthogonal zueinander sind. Aber als Elektroingenieur hielt ich die Fourier-Transformation für selbstverständlich und vergaß, wie man die Orthogonalität beweist.

Was fehlt mir hier? Wie beweist man $\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty = \delta$ Und $\int_{-\infty}^{\infty}(e^{ik_nx})^*\ e^{ik_mx}\mathrm{d}x=\delta_{n,m}$ ?

Robin Ekmann

Die Gleichungen sind im Sinne von Verteilungen zu verstehen.

Benjamin Horowitz

Ja, Sie verstehen nicht wirklich, was ein Dirac-Delta ist. Es ist keine Unendlichkeit bei Null, es ist eine Verteilung, die durch ihre integralen Eigenschaften definiert ist. Also ist einer der ersten integralen Ausdrücke der letzten Zeile falsch.

Benutzer3336365

@Benjamin Warte. Können Sie erläutern, warum man das erste Integral der letzten Zeile nicht beweisen kann? Genau deswegen bin ich verwirrt. Ich weiß, dass Dirac Delta eine verallgemeinerte Funktion ist und nur so funktioniert, dass ihr Integral eins ist. Aber es funktioniert nicht umgekehrt und ein bloßes Ergebnis der Unendlichkeit ist kein Dirac-Delta. Deshalb habe ich erwähnt, dass es alles sein kann. Dann bleibt immer noch die Frage, wie man eine Dirac-Funktionsnormierung für Impuls-Eigenfunktionen durchführt.

Benjamin Horowitz

Ah, ich sehe die Hauptverwirrung, die hier vor sich geht ... die 1-d freie Teilchenwellenfunktion ist nicht normalisierbar, da sie im Unendlichen nicht auf Null geht. Hier könnte eine nette Quelle zum Ansehen sein: physicalpages.com/2012/09/11/…

Benutzer3336365

Danke für den Hinweis Benjamin. Wenn Sie auf die zwielichtige Formel klicken, heißt es: "Diese Formel ist eindeutig Unsinn, da wir eine oszillierende Funktion über einen unendlichen Bereich integrieren, sodass sie nicht konvergiert." Ich denke also, Impuls-Eigenfunktionen sind im streng mathematischen Sinne nicht orthogonal? Aber sie sind orthogonal in der Physik? :/ Ich nerv mich trotzdem.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/47934/2451 , physical.stackexchange.com/q/89958/2451 und Links darin.

Quillo

verwandt: physical.stackexchange.com/q/155304/226902

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Die Gleichungen sind im Sinne von Verteilungen zu verstehen.
Ja, Sie verstehen nicht wirklich, was ein Dirac-Delta ist. Es ist keine Unendlichkeit bei Null, es ist eine Verteilung, die durch ihre integralen Eigenschaften definiert ist. Also ist einer der ersten integralen Ausdrücke der letzten Zeile falsch.
@Benjamin Warte. Können Sie erläutern, warum man das erste Integral der letzten Zeile nicht beweisen kann? Genau deswegen bin ich verwirrt. Ich weiß, dass Dirac Delta eine verallgemeinerte Funktion ist und nur so funktioniert, dass ihr Integral eins ist. Aber es funktioniert nicht umgekehrt und ein bloßes Ergebnis der Unendlichkeit ist kein Dirac-Delta. Deshalb habe ich erwähnt, dass es alles sein kann. Dann bleibt immer noch die Frage, wie man eine Dirac-Funktionsnormierung für Impuls-Eigenfunktionen durchführt.
Ah, ich sehe die Hauptverwirrung, die hier vor sich geht ... die 1-d freie Teilchenwellenfunktion ist nicht normalisierbar, da sie im Unendlichen nicht auf Null geht. Hier könnte eine nette Quelle zum Ansehen sein: physicalpages.com/2012/09/11/…
Danke für den Hinweis Benjamin. Wenn Sie auf die zwielichtige Formel klicken, heißt es: "Diese Formel ist eindeutig Unsinn, da wir eine oszillierende Funktion über einen unendlichen Bereich integrieren, sodass sie nicht konvergiert." Ich denke also, Impuls-Eigenfunktionen sind im streng mathematischen Sinne nicht orthogonal? Aber sie sind orthogonal in der Physik? :/ Ich nerv mich trotzdem.
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Mut · Answer 1

Die Delta-Funktion ist nicht wirklich eine Funktion, es ist eine Verteilung, im engeren Sinne beides $\delta (x)$ Und $e^{ikx}$ sind nicht normalisierbar, wenn $n=m$

Eine Möglichkeit, Ihre Gleichungen zu beweisen, ist die Verwendung von Fourier-Transformationen

Unter Verwendung des Satzes von Placherel die Fourier-Transformation $F([f(x)]k)$ für die Funktion $f(x)$ wird von gegeben

F [δ (X - X_{0})] (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} δ (X - X_{0}) e^{- ich k X} D X = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich k X_{0}}

$F[\delta(x-x_0)](k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)e^{-ikx}\mathrm dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx_0}$

Betrachten Sie die Fourier-Inverse

F^{- 1} [e^{- ich k X_{0}}] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{ich k (X - X_{0})} D k

$F^{-1}[e^{-ikx_0}]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-x_0)}dk$

klar ist das $\infty$ aber es gibt einen Trick oder eine Lösung dafür, wir können sicher sein, dass dies für jede Funktion gilt $f(x)$ Wenn

F (X) \overset{Fourier-Transformation}{\to} F [F (X)] (k)

$f(x) \xrightarrow{\text{fourier transform}} F[f(x)](k)$ Dann

F [F (X)] (k) \overset{inv Fourier-Transformation}{\to} F (X)

$F[f(x)](k) \xrightarrow{\text{ inv fourier transform}} f(x)$

Damit wir schreiben können

\int_{- \infty}^{\infty} e^{ich k (X - X_{0})} D k = 2 π δ (X - X_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-x_0)} \mathrm dk= 2\pi\delta (x-x_0)$

Für Impuls-Eigenfunktionen Ersetzen unter Verwendung der obigen Gleichung und Ersetzen $x$ , $x_0$ , $k$ von $k_m$ , $k_n$ , $x$ wir haben

\int_{- \infty}^{\infty} e^{ich X (k_{M} - k_{N})} D X = \int_{- \infty}^{\infty} e^{ich X k_{M}} (e^{ich X k_{N}})^{*} D X = 2 π δ (k_{M} - k_{N})

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix(k_m-k_n)} \mathrm dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{ixk_m}(e^{ixk_n})^* \mathrm dx=2\pi\delta (k_m-k_n)$

So werden die „ normalisierten “ Eigenfunktionen des Impulses

δ (k_{M} - k_{N})

$\delta(k_m-k_n)$

Wichtig ist, dass die Funktionen $\delta(x)$ Und $e^{ikx}$ sind vollständig und orthogonal, und das ist alles, was wir brauchen, wenn wir sie als Basisvektoren für unseren Hilbert-Raum verwenden würden

Siehe auch Griffths – Einführung in die Quantenmechanik, Kapitel 3 – Formalismus

Ich verstehe jetzt deinen Punkt. Sie haben Fourier-Paare der Delta-Funktion und komplexe Exponentialfunktionen verwendet, um zu beweisen, dass die Basis von Impuls-Eigenfunktionen orthogonal ist. Dann haben Sie behauptet, dass man beliebige Funktionen in Bezug auf die Basis erweitern kann, da sie orthogonal und vollständig sind, eine Behauptung, die ich auch in anderen Lehrbüchern gelesen habe. So weit, ist es gut. Ich stimme Ihrer Argumentation vollkommen zu. Aber die Vorstellung, dass die Basis nicht normalisierbar ist, scheint mir immer noch nicht sehr physikalisch zu sein. Hast du vielleicht irgendwelche Gedanken dazu?
PS: Vielleicht möchten Sie Ihren Wortlaut ändern. Wenn der orthogonale Satz von Vektoren nicht normalisierbar ist, dann sind sie nicht orthogonal und ein solcher Satz von Vektoren erfüllt nicht die Anforderung, eine Basis für einen Hilbert-Raum zu bilden. Nur etwas mathematische Strenge hier. (Obwohl ich jetzt verwirrt bin, wie ich mich auf die Menge komplexer Exponentiale beziehen soll, da sie keine Basis sind. :-/)
@ user3336365 Hey, Sie müssen meine Antwort nicht wirklich akzeptieren, wenn Sie nicht zufrieden sind (ich weiß, dass Sie es nicht sind), das ist alles, was die meisten Lehrbücher auf UG-Niveau zu bieten haben, und ich habe das nur für einen tieferen Einblick studiert :) Antworten Sie könnten wahrscheinlich warten oder die von Qmechanic bereitgestellten Links sehen :)

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Mut

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