Free Space Propagator: Abgleich zweier Ergebnisse

Question

Free Space Propagator: Abgleich zweier Ergebnisse

Physik
Verbreiter
Normalisierung
Wegintegral
Quantenmechanik
funktionale Determinanten

M.Zeng

In der Quantenmechanik der Freiraumpropagator $G(q_f=0,q_i=0;\tau)$ lässt sich leicht berechnen

\sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ τ}}

$\sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar \tau}}$ durch Einfügen eines Identitätsoperators.

Wenn wir jedoch ein funktionales Integral verwenden, erhalten wir

\begin{aligned} G (Q_{F} = 0, Q_{ich} = 0; τ) & = \int D Q e^{- \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{τ} D T \frac{M}{2} {\dot{Q}}^{2}} \\ = \int D R e^{- \frac{ich}{ℏ} (S [Q_{C l}] + S [R (T)])} \\ = \int D R e^{- \frac{ich}{ℏ} S [R (T)]} \\ = \int D R e^{\frac{ich}{ℏ} \int D T R (T) \partial_{T}^{2} R (T)} \\ = (det [\frac{ich}{π ℏ} \partial_{T}^{2}])^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} G(q_f=0,q_i=0;\tau)&=\int Dq e^{-\frac{i}{\hbar}\int_0^{\tau} dt \frac{m}{2}\dot{q}^2}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}(S[q_{cl}]+S[r(t)])}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}S[r(t)]}\\ &=\int Dr e^{\frac{i}{\hbar}\int dt r(t)\partial_t^2 r(t)}\\ &=(\det[\frac{i}{\pi\hbar}\partial_t^2])^{-1/2} \end{split} \end{equation}$ wo die klassische Flugbahn

q_{c l} (t) = 0

$q_{cl}(t)=0$ aufgrund der Randbedingungen u

r (t)

$r(t)$ ist die Fluktuation. Wenn wir nach den Eigenzuständen und Eigenwerten von auflösen

\partial_{t}^{2}

$\partial_t^2$ :

\partial_{T}^{2} R_{N} (T) = λ_{N} R_{N} (T)

$\partial_t^2 r_n(t)=\lambda_nr_n(t)$ mit

r_{n} (0) = r_{0} (τ) = 0

$r_n(0)=r_0(\tau)=0$ , wir bekommen

r_{n} (t) = \sin (n π t / τ)

$r_n(t)=\sin(n\pi t/\tau)$ Und

λ_{n} = (n π / τ)^{2}

$\lambda_n=(n\pi/\tau)^2$ . Daher haben wir

det (\partial_{T}^{2}) = \prod_{J = 1}^{\infty} (N π / τ)^{2}

$\det(\partial_t^2)=\prod_{j=1}^{\infty}(n\pi/\tau)^2$ was gegen unendlich geht und als Ergebnis scheint der Propagator gegen 0 zu gehen.

Ich bin mir nicht sicher, was bei dieser Berechnung schief gelaufen ist. Jede Hilfe ist willkommen.

Bearbeiten: vorgeschlagen von @AccidentalFourierTransform, unten ist der Zeta-Funktionsansatz, der immer noch nicht zu funktionieren scheint.

der Einfachheit halber setzen wir alle irrelevanten Konstanten auf 1 und damit $\lambda_n=n^2$ , dann haben wir

ζ (S) = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{λ_{N}^{S}} = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N^{2 S}}

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_n^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2s}}$ und dann müssen wir die Ableitung der Zeta-Funktion berechnen und dann die Grenze von nehmen

s

$s$ auf 0 geht, gefolgt von einer Potenzierung, um die Determinante zu erhalten.

ζ^{'} (S) = \sum_{N = 1}^{\infty} - \frac{l N λ_{N}}{N^{2 S}}

$\zeta'(s)=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{ln\lambda_n}{n^{2s}}$ Ich habe es numerisch versucht, indem ich genommen habe

s

$s$ sowohl von der realen Achse als auch von der imaginären Achse auf 0, aber beide scheinen zu divergieren, dh das gleiche Problem bleibt bestehen.

AccidentalFourierTransform

Haben Sie versucht, das Produkt zu normalisieren? siehe Funktionale Determinante

M.Zeng

Ich denke, dies wird normalerweise für Propagatoren mit einem gewissen Potenzial ungleich Null durchgeführt, wobei wir das Verhältnis zwischen diesem Propagator und dem freien Propagator nehmen. Aber wie umgehen wir die Unendlichkeiten im freien Propagator? Bedeutet das, dass die funktionale Determinante in diesem Fall einfach keine sinnvollen Ergebnisse liefern kann?

AccidentalFourierTransform

lassen

λ_{n} = n π / τ

$\lambda_n= n\pi/\tau$ ; beachten Sie, dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- \log λ_{n}}{λ_{n}^{s}}

$\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$

= (τ / π)^{s} \log (π τ) ζ (s) + (τ / π)^{s} ζ^{'} (s) \to - \frac{1}{2} \log (2 τ)

$=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ als

s \to 0

$s\to 0$ . Wenn wir die Exponentialfunktion nehmen, erhalten wir

G = \frac{1}{\sqrt{2 τ}}

$G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Dieses Ergebnis ist falsch, aber so ist Ihr Ausdruck für

λ_{n}

$\lambda_n$ (z. B. sollte es davon abhängen

m

$m$ ).

AccidentalFourierTransform

Wie auch immer, die Berechnungen aus meinem letzten Kommentar sind wahrscheinlich falsch (ich habe sie nicht mit viel Sorgfalt durchgeführt), aber mein Punkt ist: 1) Berechnen Sie die Eigenwerte von

\frac{i m}{π ℏ} \partial_{t}^{2}

$\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , und ruf sie an

λ_{n}

$\lambda_n$ . 2) Verwenden Sie als Nächstes den Ausdruck aus dem Link, den ich zuvor gepostet habe (

det (S) = \sum \frac{\log λ}{λ^{s}}

$\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ) und erweitere diese Funktion auf die komplexe Ebene. 3) Nehmen Sie dann das Limit

s \to 0

$s\to 0$ , und potenziere schließlich das Ergebnis. Sie sollten das richtige Ergebnis für erhalten

G

$G$ (Wenn Sie dies tun, posten Sie Ihre Arbeit hier und wir werden sie überprüfen, und sie könnte in Zukunft für andere Benutzer nützlich sein.)

M.Zeng

@AccidentalFourierTransform Ich habe die Berechnung basierend auf Ihrem Vorschlag hinzugefügt, aber es scheint nicht zu funktionieren. Bitte beziehen Sie sich auf die bearbeitete Version der Frage.

QMechaniker

Kleiner Kommentar zur Frage (v5): Das Minus im Argument der ersten Exponentialfunktion entspricht nicht der Standard-(Minkowski-)Vorzeichenkonvention.

AccidentalFourierTransform

@M.Zeng Sie sollten die Summe nicht tatsächlich auswerten: Die Reihendarstellung der Zeta-Funktion konvergiert nicht

s \leq 1

$s\le1$ (in Ihrem Fall möchten Sie

s \to 0

$s\to0$ ). Was Sie tun müssen, ist die analytische Fortsetzung von zu verwenden

ζ (s)

$\zeta(s)$ für negative Werte von

s

$s$ . Siehe den Wikipedia-Artikel für

ζ (s)

$\zeta(s)$ : dort finden Sie äquivalente Darstellungen, die für konvergieren

s \to 0

$s\to0$ . (Denk an

\sum x^{n}

$\sum x^n$ : es konvergiert für

| x | < 1

$|x|<1$ , sondern seine analytische Fortsetzung

\frac{1}{1 - x}

$\frac{1}{1-x}$ konvergiert für alle

x \neq 1

$x\neq1$ ; Sie möchten dasselbe tun

ζ (s)

$\zeta(s)$ , wo die Originalserie schlecht für allgemeine geeignet ist

s

$s$ )

M.Zeng

ok, hier ist die frage, warum soll ich das nicht so machen? Die Reihendarstellung erhalten wir direkt aus dem Funktionsintegral. Wenn wir an der Reihe noch etwas ändern müssen, um physikalisch sinnvolle Ergebnisse zu erhalten, dann muss das an der Problematik der Funktionsintegration liegen.

Antworten (1)

Free Space Propagator: Abgleich zweier Ergebnisse

Haben Sie versucht, das Produkt zu normalisieren? siehe Funktionale Determinante
Ich denke, dies wird normalerweise für Propagatoren mit einem gewissen Potenzial ungleich Null durchgeführt, wobei wir das Verhältnis zwischen diesem Propagator und dem freien Propagator nehmen. Aber wie umgehen wir die Unendlichkeiten im freien Propagator? Bedeutet das, dass die funktionale Determinante in diesem Fall einfach keine sinnvollen Ergebnisse liefern kann?
lassen $\lambda_n= n\pi/\tau$ ; beachten Sie, dass $\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$ $=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ als $s\to 0$ . Wenn wir die Exponentialfunktion nehmen, erhalten wir $G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Dieses Ergebnis ist falsch, aber so ist Ihr Ausdruck für $\lambda_n$ (z. B. sollte es davon abhängen $m$ ).
Wie auch immer, die Berechnungen aus meinem letzten Kommentar sind wahrscheinlich falsch (ich habe sie nicht mit viel Sorgfalt durchgeführt), aber mein Punkt ist: 1) Berechnen Sie die Eigenwerte von $\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , und ruf sie an $\lambda_n$ . 2) Verwenden Sie als Nächstes den Ausdruck aus dem Link, den ich zuvor gepostet habe ( $\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ) und erweitere diese Funktion auf die komplexe Ebene. 3) Nehmen Sie dann das Limit $s\to 0$ , und potenziere schließlich das Ergebnis. Sie sollten das richtige Ergebnis für erhalten $G$ (Wenn Sie dies tun, posten Sie Ihre Arbeit hier und wir werden sie überprüfen, und sie könnte in Zukunft für andere Benutzer nützlich sein.)
@AccidentalFourierTransform Ich habe die Berechnung basierend auf Ihrem Vorschlag hinzugefügt, aber es scheint nicht zu funktionieren. Bitte beziehen Sie sich auf die bearbeitete Version der Frage.
Kleiner Kommentar zur Frage (v5): Das Minus im Argument der ersten Exponentialfunktion entspricht nicht der Standard-(Minkowski-)Vorzeichenkonvention.
@M.Zeng Sie sollten die Summe nicht tatsächlich auswerten: Die Reihendarstellung der Zeta-Funktion konvergiert nicht $s\le1$ (in Ihrem Fall möchten Sie $s\to0$ ). Was Sie tun müssen, ist die analytische Fortsetzung von zu verwenden $\zeta(s)$ für negative Werte von $s$ . Siehe den Wikipedia-Artikel für $\zeta(s)$ : dort finden Sie äquivalente Darstellungen, die für konvergieren $s\to0$ . (Denk an $\sum x^n$ : es konvergiert für $|x|<1$ , sondern seine analytische Fortsetzung $\frac{1}{1-x}$ konvergiert für alle $x\neq1$ ; Sie möchten dasselbe tun $\zeta(s)$ , wo die Originalserie schlecht für allgemeine geeignet ist $s$ )
ok, hier ist die frage, warum soll ich das nicht so machen? Die Reihendarstellung erhalten wir direkt aus dem Funktionsintegral. Wenn wir an der Reihe noch etwas ändern müssen, um physikalisch sinnvolle Ergebnisse zu erhalten, dann muss das an der Problematik der Funktionsintegration liegen.

QMechaniker · Answer 1

Die zugrunde liegende Frage von OP ist im Wesentlichen dieselbe wie in diesem Phys.SE-Beitrag, obwohl die detaillierte Berechnung etwas anders und interessant zu vergleichen ist.

I) Die Wirkung für ein freies nichtrelativistisches Punktteilchen mit Masse $m=1$ liest:

\begin{matrix} (1) & S = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} D T \dot{X} (T)^{2} = \frac{1}{2} ⟨ X, A X ⟩ = \frac{1}{2} \sum_{N \in N} λ_{N} C_{N}^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} S ~=~\frac{1}{2}\int_0^T\! dt~ \dot{x}(t)^2~=~ \frac{1}{2}\langle x,Ax \rangle~=~\frac{1}{2}\sum_{n\in \mathbb{N}} \lambda_n c_n^2 .$

Hier haben wir Dirichlet-Randbedingungen (DBC) angenommen

\begin{matrix} (2) & X (0) = 0 = X (T) . \end{matrix}

$\tag{2} x(0)~=~0~=~x(T).$

Außerdem hier

\begin{matrix} (3) & ⟨ F, G ⟩ := \int_{0}^{T} D T F (T) G (T) \end{matrix}

$\tag{3} \langle f,g \rangle ~:=~ \int_0^T\! dt ~f(t)g(t)$

ist ein inneres Produkt vorbei $\mathbb{R}$ .

II) In Gl. (1) Wir haben auch einen positiven Operator eingeführt

\begin{matrix} (4) & A := - \partial_{T}^{2} \end{matrix}

$\tag{4} A~:=~-\partial_t^2$

mit positiven Eigenwerten

\begin{matrix} (5) & λ_{N} = {(\frac{π N}{T})}^{2} > 0, N \in N . \end{matrix}

$\tag{5} \lambda_n~=~\left(\frac{\pi n }{T}\right)^2~>~0, \qquad n\in \mathbb{N}.$

Die Determinante wird über die Regularisierung der Zeta-Funktion

\begin{matrix} (6) & det (A) = \prod_{N \in N} λ_{N} = {(\prod_{N \in N} \frac{π N}{T})}^{2} = 2 T, \end{matrix}

$\tag{6}\det(A)~=~\prod_{n\in\mathbb{N}} \lambda_n~=~\left(\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi n }{T}\right)^2 ~=~2T ,$

mit zB Gl. (7) in meiner Phys.SE-Antwort hier .

III) Die normierten Eigenfunktionen sind

\begin{matrix} (7) & X_{N} (T) = \sqrt{\frac{2}{T}} Sünde \frac{π N}{T} T, N \in N . \end{matrix}

$\tag{7} x_n(t) ~=~ \sqrt{\frac{2}{T}} \sin \frac{\pi n }{T}t , \qquad n\in \mathbb{N}.$

Ein beliebiger virtueller Pfad $t\mapsto x(t)$ die den DBC (2) erfüllt, ist eine lineare Kombination

\begin{matrix} (8) & X = \sum_{N \in N} C_{N} X_{N}, \end{matrix}

$\tag{8} x ~=~ \sum_{n\in \mathbb{N}} c_n x_n,$

Wo $c_n\in\mathbb{R}$ sind beliebige Koeffizienten, über die wir in das Pfadintegral integrieren sollten.

IV) Betrachten wir nun die Quantenmechanik. Lasst uns annehmen $\hbar=1$ der Einfachheit halber. Das Wegintegralmaß ist

\begin{matrix} (9) & D X := N \prod_{N \in N} \frac{D C_{N}}{\sqrt{2 π}}, \end{matrix}

$\tag{9} {\cal D}x~:=~N \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\mathrm{d}c_n}{\sqrt{2\pi}} ,$

Wo $N$ ist ein Normalisierungsfaktor. Das euklidische Pfadintegral ist also ein unendlichdimensionales Gaußsches Integral

\begin{matrix} (10) & Z = \int_{D B C} D X e^{- S} = \frac{N}{\sqrt{det (A)}} = \frac{N}{\sqrt{2 T}} . \end{matrix}

$\tag{10} Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S}~=~\frac{N}{\sqrt{\det (A)}} ~=~ \frac{N}{\sqrt{2T}}.$

Anscheinend sollten wir den Normalisierungsfaktor wählen $N=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ um die euklidische Version der ersten Formel von OP zu erreichen

\begin{matrix} (11) & Z = \frac{1}{\sqrt{2 π T}} . \end{matrix}

$\tag{11} Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.$

es scheint, dass das ganze Problem seinen Ursprung in der Reihendarstellung analytischer Funktionen und der analytischen Fortsetzung hat. Aufgrund der von uns verwendeten funktionalen Integrationstechnik haben wir eine Reihe, die im interessierenden Bereich divergiert, und dann verwenden wir eine analytische Fortsetzung, um den Konvergenzbereich zu vergrößern, um schließlich ein endliches Ergebnis zu erhalten, das funktioniert. Liegt das an der eigentlichen Problematik der Funktionsintegration? und ist dies einer der gründe, warum man immer noch nach einer mathematisch rigorosen rechtfertigung dieser technik sucht?
Wir müssen Regularisierung verwenden , um das Pfadintegral zu verstehen. Es muss keine Regularisierung der Zeta-Funktion sein . Es können auch andere Regularisierungen verwendet werden, wie z. B. die Pauli-Villar-Regularisierung .

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