Propagatoren, Greensche Funktionen, Pfadintegrale und Übergangsamplituden in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie unterscheiden sich darin, wie sie ihre Wellengleichungen behandeln. Die Verwendung des gebräuchlichen Begriffs „Propagator“ könnte auf den Ansatz der „relativistischen Wellengleichung“ zurückgeführt werden – d. e. Früher dachte man wirklich, dass die Schrödinger- und die KG-Operatoren zur gleichen Klasse von „Quantenoperatoren“ gehören, aber aus heutiger Sicht sind diese Dinge unterschiedlicher Natur, also schlage ich vor, dass Sie es zunächst auch tun. (Später möchten Sie vielleicht das Schrödinger-Feld in der nicht-relativistischen QFT verstehen, indem Sie Kapitel III.5 von Zee lesen , und wenn Sie sich mutig fühlen, die Ursprünge der modernen QFT, beschrieben in Weinbergs erstem Band , Abschnitt 1.2.) Dementsprechend , werde ich meine Antwort in Abschnitte zu QFT und QM unterteilen.

Quantenmechanik.  Angenommen, Sie kennen die Übergangsamplitude$\def\xi{x_{\mathrm i}} \def\xf{x_{\mathrm f}} \def\ti{t_{\mathrm i}} \def\tf{t_{\mathrm f}}$

$$K(\xf,\tf;\xi,\ti) \equiv \langle \xf,\tf|\xi,\ti\rangle$$ und die Wellenfunktion $\psi(x,\ti) = \psi_0(x)$für alle $x$zu einer bestimmten Zeit $t =\ti$. Dann weißt du es auch zu jeder anderen Zeit $t=\tf$: $$\begin{multline} \psi(\xf,\tf) \equiv \langle \xf,\tf|\psi(\ti)\rangle = \langle \xf,\tf|\left(\int d^n\xi\,|\xi,\ti\rangle\langle \xi,\ti|\right)|\psi(\ti)\rangle \\\equiv \int d^n\xi\,K(\xf,\tf;\xi,\ti)\psi_0(\xi).\tag{1} \end{multline}$$ Die ersten Abschnitte von Feynman und Hibbs oder Kapitel 6 von Srednicki ^PDF sollten Sie davon überzeugen $$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = \int\limits_{x\rlap{(\ti)=\xi}}^{x\rlap{(\tf)=\xf}} \mathcal Dx(t)\,e^{i\int dt\,L(x(t),\dot x(t),t)}.$$ Beachten Sie gut die Randbedingungen im Pfadintegral: Sie werden sich im QFT-Abschnitt als wichtig erweisen.

Lassen Sie uns die Argumente neu anordnen,$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = K(\xf,\xi;\tf,\ti)$. Dann werden Sie in (1) eine Integraldarstellung des Evolutionsoperators erkennen können$U(\tf,\ti)$,

$$\psi(\xf,\tf)\equiv(U(\tf,\ti)\psi_0)(\xf) = \int d^n\xi\,K(\xf,\xi;\tf,\ti)\psi_0(\xi).$$ Wenn Sie denken $\xi$und $\xf$als Indizes mit fortlaufender Anzahl von Werten sieht diese Formel sehr ähnlich aus wie Matrixmultiplikation und $K(\cdot,\cdot\,;\tf,\ti)$spielt die Rolle der Matrix. Das macht Sinn, weil der lineare Operator $U(\tf,\ti)$sollte durch (so etwas wie) eine Matrix dargestellt werden! Mathematiker nennen dieses Etwas einen (ganzzahligen) Kern , daher der $K$. Aber es ist wirklich eine sehr große Matrix, abgesehen von Pathologien; Apropos, überzeugen Sie sich selbst davon, dass das Dirac-Delta „funktioniert“ $\delta^n(\xf-\xi)$ist der Kern der Identitätstransformation und so weiter $K(\xf,\xi;\ti,\ti) = \delta^n(\xf-\xi)$.

Bewaffnet mit dem Wissen, dass Dirac Delta tatsächlich der Identitätsoperator ist, sehen Sie nun, dass die Definition der Greenschen Funktion (genauer gesagt die Fundamentallösung ) eines linearen Differentialoperators ist$L$, auf null Raumdimensionen beschränkt und nicht explizit$t$Abhängigkeit für Einfachheit,

$$LG = \delta(t),$$ ist eigentlich nur die Definition einer Inversen! Gegeben $G$, ist es auch offensichtlich, wie man jede andere inhomogene Gleichung löst: $$Lu = f(t)\quad\Leftarrow\quad u(t) = \int ds\,G(t-s)f(s).$$ Aber was hat das alles mit der Lösung des Randwertproblems, dem Propagator, zu tun? $K$? Alles, so stellt sich heraus, nach Duhamels Prinzip . Die Funktion des Grüns $G$(für das inhomogene Problem) und den Propagator $K$(für das Anfangswertproblem) sind tatsächlich gleich! Eine Diskussion bei Math.SE bietet einige Motivation, und Wikipedia enthält die Details zum Umgang mit Gleichungen, die zeitlich mehr als erster Ordnung sind (z. B. KG nicht Schrödinger). In jedem Fall ist das Endergebnis das $K$oben ist die Umkehrung des Schrödinger-Operators, $$[\partial_t + iH(x,-i\partial_x)]K = \delta(t)\delta^n(x).$$

Zwischenspiel.  Es könnte Ihnen gefallen, Abschnitt 2 von Feynmans klassischem Artikel Theory of positrons ^PDF , Phys. Rev. 76 , 749 (1949), und der Anfang von Abschnitt 2 des Folgebeitrags Space-time approach to Quantum Electrodynamics ^PDF , Phys. Rev. 76 , 769 (1949), die die Verbindung zwischen den QM- und QFT-Ansätzen herstellt, indem sie zeigt, wie man eine Störungsexpansion einschreibt$g$für einen Hamiltonian$H = T + gV$wenn Sie die genaue Entwicklung unter dem „kinetischen“ Teil bestimmen können$T$aber nicht der Teil „Interaktion“.$gV$,$g \ll 1$. Der Beitrag erster Ordnung sieht beispielsweise so aus

$$K_1(\xf,\tf;\xi,\ti) = -ig\int_{\ti}^{\tf} dt\int d^3x\, K_0(\xf,\tf;x,t)V(x,t)K_0(x,t;\xi,\ti),$$ was vernünftigerweise als „Ausbreitung zu einem beliebigen Punkt“ beschrieben werden kann $x$, Streuung des Potentials und Ausbreitung zum Endpunkt von dort“. Die zweite Arbeit hat die Erweiterung auf Mehrteilchensysteme.

Feynman nutzte dies, um zum ersten Mal seine Diagramme zu motivieren. Der Teil, der sich auf die QED selbst bezieht, ist jedoch aus den im ersten Absatz genannten Gründen mit Vorsicht zu genießen. Es würde Ihnen viel Spaß machen, zum Beispiel zu erklären, warum die Einschränkung gilt$\ti\le t\le \tf$wird in der QFT nicht erzwungen – Feynman nannte dies den Grund für Antiteilchen .

Quantenfeldtheorie.  Die volkssprachliche (im Gegensatz zur axiomatischen ) Quantenfeldtheorie beginnt mit einer klassischen Feldgleichung. Das ist Ihre KG- oder Dirac- oder Wellengleichung: eine klassische Gleichung, die von einer klassischen Aktion für das Feld abgeleitet ist. Sie können die Gleichung und die Aktion in einen „freien“ und einen „interaktionsbezogenen“ Teil aufteilen; Der freie (oder „kinetische“) Teil wird normalerweise als der Teil definiert, den Sie exakt lösen können – der lineare Teil der Gleichung, der quadratische Teil der Aktion. Der freie Propagator ist dann die Umkehrung dieses Teils. Es heißt normalerweise$D$für fermionische u$\Delta$für bosonische Felder, obwohl Konventionen (und Koeffizienten!) variieren.

Fördern Sie die Felder zu Operatoren$\hat\phi(x)$, mit kanonischer Quantisierung ; Nach einigem Schmerz und Leiden werden Sie die völlig mysteriöse Tatsache finden, dass in der freien Theorie

$$\langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle = \theta(x^0-y^0)\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle0|\hat\phi(y)\hat\phi(x)|0\rangle =\frac 1i \Delta(x-y),$$ wo $|0\rangle$ist der Grundzustand, und die erste Gleichheit dient dazu , den zu definieren $\mathcal T$Symbol, die Zeitreihenfolge . Im Land der funktionalen Integrale ist das Ganze jedoch so einfach wie das Lösen der quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$durch Vervollständigung des Quadrats ; die Details finden Sie in Zee Kapitel I.2, beginnend mit Gleichung (19). Das Ergebnis ist $$\frac 1i \Delta(x-y) = \langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle \equiv \int\mathcal D\phi(x)\,\phi(x)\phi(y)\,e^{iS[\phi]} = \left.\frac\delta{i\,\delta J(x)}\frac\delta{i\,\delta J(y)}\int\mathcal D\phi(x)\,e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}\right|_{J = 0},$$ wobei die Äquivalenz in der Mitte fast die Definition des Integrals ist, und das Ganze sollte vernünftig aussehen und nicht zufällig an statistische Physik erinnern. Beachten Sie, wie die Integration über die vierdimensionalen Feldkonfigurationen verläuft $\phi(x)$statt Partikelpfade $x(t)$: QM ist nur QFT in einer Dimension!

Sie müssen das Pfadintegral ableiten, um zu verstehen, wo die$\mathcal T$kommt von – es ist jedoch sinnvoll, dass, wenn das Pfadintegral Korrelatoren definiert, diese mit einer Ordnungsvorschrift kommen sollten: Unter dem Integralzeichen gibt es keine Operatoren, nur Zahlen und keine Ordnung. Die Herleitung wird Sie auch überzeugen, dass (erinnern Sie sich, wie ich Ihnen gesagt habe, dass Sie auf die Randbedingungen achten sollen?)

$$\int\mathcal Dx(t) \equiv \int d^n\xf\,d^n\xi \langle0|\xf\rangle \langle\xi|0\rangle \int\limits_{x\rlap{(\ti) =\xi}}^{x\rlap{(\tf) =\xf}}\mathcal Dx(t)$$ für Willkür $\ti$und $\tf$die alle Zeitwerte umfassen, an denen Sie interessiert sind, der Einfachheit halber in einer Dimension. Ich musste kürzlich die Details aufschreiben, damit Sie bei Bedarf meine Notizen zum Selbst ^-PDF einsehen können.

Der letzte Schritt besteht darin, Interaktionen einzuführen; Ich überlasse das den AMS-Notizen oder Zee-Kapitel I.7, aber die Idee ist wieder (funktional) differenzierend unter dem (funktionalen) Integral:

$$\int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + I[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)} = e^{iI\left[\frac{\delta}{i\,\delta J}\right]} \int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}$$ und das Ergebnis sind Scheitelpunkte in Feynman-Diagrammen.