Zwei Fragen zum Pfadintegral aus „Gauge Fields and Strings“ von Polyakov

Meine Fragen beziehen sich auf Weltlinienpfadintegrale aus dem Buch Gauge Fields and Strings of Polyakov. Auf Seite 153, Kapitel 9, sagt er

Beginnen wir mit dem folgenden Pfadintegral

$$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]=\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\delta(\overset{\,\centerdot}{x}{}^{2}(\tau)\boldsymbol{-}h(\tau)) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\lambda(\tau)\exp\left(i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)h(\tau)\right)\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)\right) \tag{9.8}\label{9.8} \end{align}$$ Wo$h(\tau)$ist der Worldline-Metrik-Tensor.

Die Wirkung in (9.8) ist unter Umparametrisierungen invariant, wenn wir transformieren:

$$\begin{align} x(\tau)&\rightarrow x(f(\tau)) \nonumber\\ h(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{2}h(f(\tau)) \tag{9.9}\label{9.9}\\ \lambda(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{-1}\lambda(f(\tau)) \end{align}$$

Polyakov fuhr mit der folgenden Aussage fort.

Es ist bequem, anstelle des Weltlinienvektors einzuführen$\lambda(\tau)$, der Weltlinien-Skalar-Lagrange-Multiplikator$\alpha(\tau)$:

$$\begin{align} \lambda(\tau)&\equiv\alpha(\tau)h(\tau)^{-1/2} \nonumber\\ \alpha(\tau)&\rightarrow\alpha(f(\tau)) \tag{9.11} \end{align}$$ So dass: $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)] \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\frac{\alpha(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}\right) \tag{9.12} \end{align}$$

1. Meine erste Frage bezieht sich auf Gleichung (9.12). Polyakov hat dort das integrale Maß mutig ersetzt$\mathscr{D}\lambda$von$\mathscr{D}\alpha$. Hat er nicht den Jacobi-Faktor übersehen?

$$\mathscr{D}\lambda=\mathscr{D}\alpha\det\left(\frac{\delta\lambda}{\delta\alpha}\right)$$

Meine zweite Frage ist folgende.

Er führte einen weiteren Parameter ein$t$, genannt Eigenzeit, definiert als

$$\begin{align} t\equiv\int_{0}^{\tau}\sqrt{h(s)}ds;\quad T\equiv t(1) \tag{9.13} \end{align}$$ und so $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]\equiv\mathscr{H}(x,y;T) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha\exp i\int_{0}^{T}\alpha(t)dt\int_{x}^{y}\mathscr{D}x\exp-i\int_{0}^{T}\alpha(t)\dot{x}^{2}(t)dt \tag{9.14} \end{align}$$

2. Kann mir jemand sagen, wie er die Gleichung (9.14) unter Verwendung des Parameters "Eigenzeit" abgeleitet hat?$t$?

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Neue Ausgabe : Wie von @Qmechanics in seiner Antwort hervorgehoben, enthält Gleichung (9.12) einen fehlenden Jacobi-Faktor. Das richtige Pfadintegral sollte sein

$$\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}.$$

Auf Seite 152 begann Polyakov mit der Zweipunktfunktion

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}x(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{\dot{x}^{2}(\tau)}d\tau\right) \tag{9.6} \\ &=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\int\mathscr{D}x(\tau)\delta(\dot{x}^{2}(\tau)-h(\tau)) \tag{9.7} \end{align}$$

Dann hat man unter Verwendung des oben korrigierten Ergebnisses

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\cdot \nonumber\\ &\cdot\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}. \end{align}$$

Daher hat man

$$G=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}(h(\tau))^{-1/2}e^{-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau}\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}$$

Das Problem ist der jakobische Faktor$h^{-1/2}$bricht bereits die Reparametrisierungsinvarianz der effektiven Aktion. Wie macht das obige Pfadintegral Sinn?