Berechnung der Übergangsamplitude

Die Amplitude ist gleich dem folgenden Wegintegral

$$\int Dq(\tau)\int \frac{Dp(\tau)}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\right]$$ Wo $$\tilde{L}=p\dot{q}-\frac{p^2(\tau)}{2f(q(\tau))}$$ das ist nicht der Lagrange, weil $p$nicht verwandt ist $q$Und $\dot{q}$. Das Integral vorbei $p$kann leicht durchgeführt werden, da es sich um ein Gaußsches Integral handelt: $$\int\frac{Dp}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\int^{t_f}_{t_i}d\tau^\prime \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\delta(\tau-\tau^\prime)\right] \\=N\frac{1}{\sqrt{detA}}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\tilde{L}[q(\tau),\tilde{p}(\tau)]\right]$$ Wo $\tilde{p}$ist der stationäre Punkt, der die kanonische Gleichung erfüllt $$\dot{q}=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{p=\tilde{p}}$$ also jetzt $\tilde{L}$kann durch die Lagrange ersetzt werden $L$und wir brauchen nur das Pfadintegral zu machen $q(\tau)$; und die Matrix $A$Ist $$A_{\tau,\tau^\prime}=\frac{\delta(\tau-\tau^\prime)}{f(q(\tau))}$$ deren Determinante ausgedrückt werden kann als $$detA=e^{trlnA}=exp\left(tr[-\delta(\tau-\tau^\prime)lnf(q(\tau))]\right)\\ =exp\left[-\delta(0)\int d\tau lnf(q(\tau))\right]$$ was als Modifikation des Lagranges angesehen werden kann.