Potentiale im Feynman-Pfadintegral

Ich versuche, das Feynman-Pfadintegral zu verstehen, indem ich das Buch von Leon Takhtajan lese.

In einem der Beispiele gibt es eine vollständige Erläuterung der Berechnung des Propagators

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}(\mathbf{q'}-\mathbf{q})-\frac{\mathbf{p}^2}{2m}T)} d^n\mathbf{p},\quad T=t'-t.$$

im Fall eines freien Quantenteilchens mit Hamilton-Operator

$$H_0 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m},$$

und die Lösung ist gegeben durch

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \left(\frac{m}{2\pi i \hbar T}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\frac{im}{2\hbar T}(\mathbf{q}-\mathbf{q'})^2}.$$

Könnten Sie mir bitte helfen zu verstehen, wie die Berechnung in dem Fall durchgeführt wird, in dem der Hamilton-Operator gegeben ist durch

$$H_1 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m} + V(\mathbf{Q})$$

Wo$V(\mathbf{Q})$ist das Potenzial definiert durch

$$V(\mathbf{Q})=\left\{ \begin{array}{cc} \infty, & \mathbf{Q} \leq b \\ 0, & \mathbf{Q}>b. \\ \end{array} \right.$$

Aktualisieren :

Ich habe den von Trimok bereitgestellten Artikel und einen anderen in den Referenzen gelesen, aber ich bin immer noch verärgert über die Art und Weise, wie der Propagator berechnet wird. Ich kann mich irren, aber es scheint, dass sie in dieser Art von Artikeln immer von vorne mit der Berechnung beginnen, ohne das zu verwenden, was sie bereits über Pfadintegrale wissen.

Ich versuche tatsächlich, etwas über die Verwendung von Pfadintegralen bei der Preisgestaltung von Optionen zu schreiben. Aus Takhtajans Buch weiß ich das für einen allgemeinen Hamiltonianer$H=H_0 + V(q)$Wo$H_0 = \frac{P^2}{2m}$, ist das Pfadintegral im Konfigurationsraum (oder genauer gesagt der Propagator) gegeben durch

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \underset{\mathbb{R}^{n-1}}{\int \cdots\int} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{k+1} - q_k}{\Delta t}\right)^2 - V(q_k)\right)\Delta t\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Ich möchte meine Berechnung von diesem Ergebnis aus starten und vermeiden, das Zeitscheibenverfahren noch einmal zu wiederholen. Aufgrund der besonderen Form des Potentials denke ich, dass ich die vorherige Gleichung umschreiben kann als $$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \int_0^{+\infty} \cdots\int_0^{+\infty} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\frac{m}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(q_{k+1} - q_k)^2}{\Delta t}\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Dann brauche ich einen Trick, um wieder an Vollintegralen vorbei zu kommen $\mathbb{R}$und verwende das, was ich bereits über den kostenlosen Partikelpropagator weiß. Da die Integrale jedoch gekoppelt sind, finde ich nicht den richtigen Weg, um die Berechnung zu beenden und das von Trimok bereitgestellte Ergebnis zu finden.

Können Sie mir bitte sagen, ob ich richtig oder falsch liege? Danke.