Die Positionsdarstellungsmatrixelemente des Propagators für ein Teilchen in einem Ring

Sie würden es nicht glauben, wie einfach es ist, diese Frage zu stellen, aber sie ist lächerlich nicht trivial. Tatsächlich ist es völlig unmöglich, die Positionsbasis-Matrixelemente dieses Propagators zu finden.

Bis jetzt hast du Gutes getan, und die Identifizierung

$$U\left( t_{2},t_{1}\right) =e^{\frac {-i} {\hbar }H\left( t_{2}-t_{1}\right) } =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}\lvert n\rangle\langle n\rvert$$ ist richtig. Naiverweise ist der Weg frei, denn Sie kennen die Eigenfunktionen, $$⟨\theta|n⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{in\theta},$$ Sie können also im Prinzip nur Sandwiches verwenden $U(t_2,t_1)$zwischen zwei Positions-Kets und du wärst fertig. Das gibt dir $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}\langle \theta_2 | n\rangle\langle n|\theta_1\rangle \\ & = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-i\left( t_{2}-t_{1}\right) E_{n}/\hbar}e^{in(\theta_1-\theta_2)}, \end{align}$$ und alles sieht gut aus, oder? Sie müssen nur noch eine Serie berechnen und schon kann es losgehen. Außerdem können Sie die Dinge hier ein wenig vereinfachen: Sie können festlegen $\theta=\theta_1-\theta_2$und $\tau=t_2-t_1$um die Notation zu vereinfachen (dh der Propagator hängt nur von diesen Unterschieden ab, was schön ist), und Sie können auch die Energien berechnen, $$E_n=\frac{\hbar^2}{2mR^2}\left(n+\frac{e}{h}\phi\right)^2,$$ so dass $\frac{(t_2-t_1)E_n}{\hbar} = \frac{\hbar}{2mR^2}\left(n+\frac{e}{h}\phi\right)^2\tau =\kappa n^2\tau + \lambda n\phi\tau + \mu\phi^2\tau,$und all dies ergibt eine schön vereinfachte Serie: $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ und das ist so sauber und einfach wie möglich. Was könnte möglicherweise falsch laufen?

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Nun, diese Reihe ist zufällig genau summierbar und repräsentiert etwas, das Jacobi genannt wird$\vartheta_3$Funktion , und Sie können alles darüber in der DLMF lesen . Genauer gesagt kommt es in diesem Fall auf die Beziehung an

$$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\frac{ \pi^2}{\kappa\tau}} \right)\mathclose{} , \tag{$\ast$} \end{align}$$ und es sieht so aus, als wären Sie fertig: Sie haben Ihre Serie auf eine spezielle Funktion reduziert, und Sie können das offensichtlich nicht weiter reduzieren, also gibt es nichts anderes zu tun.

Leider sind Sie aber noch nicht fertig. Wenn Sie sich die Theta-Funktion genauer ansehen, wird sie normalerweise als definiert

$$\vartheta_3(z,q)=1+2\sum_{n=0}^\infty q^{n^2}\cos(2nz),$$ wo $q$und $z$sind komplexe Parameter, und wir werden festlegen wollen $q=e^{i \pi^2/\kappa\tau}$. Aus der Definition geht hervor, dass die Reihe konvergiert, wenn $|q|<1$, und dass es divergieren wird, wenn $|q|>1$. Das Ergebnis der Quantenmechanik, das wir gerade erhalten haben, steht auf Messers Schneide, at $|q|=1$: Es gibt keine Konvergenzgarantien, aber die Reihe ist oszillierend, also können wir vielleicht auf eine bedingte Konvergenz hoffen, die durch die Oszillationen hervorgerufen wird?

Leider gibt es da auch keine Freude. Die vollständige Antwort ist die$\vartheta_3$hat so etwas wie eine natürliche Grenze , was bedeutet, dass für jeden Punkt$q_0$auf dem Einheitskreis (so$|q_0|=1$) und alle$z\in\mathbb C$, das Limit$\lim_{q\to q_0^-} \vartheta_3(z,q)$divergiert gegen unendlich. (Ich verwende die Notation$q\to q_0^-$das anzudeuten$q$bleibt während des Limits auf der Festplatte, nur um die Dinge einfach zu halten.) Wenn Sie die großen hässlichen Mathematikerdetails wollen, liegt dies daran, dass die Reihe eine so genannte lückenhafte Reihe ist, nach der ich hier auf MathOverflow und hier auf Maths SE gefragt habe; Insbesondere impliziert hier das Fabry-Gap-Theorem , dass die Theta-Funktion einen Feuerring um sich herum hat, der ungefähr so ​​​​aussieht:

^{Mathematica-Code durch Import[" https://raw.githubusercontent.com/halirutan/Mathematica-SE-Tools/master/SETools/SEImageExpressionDecode.m "][" http://i.stack.imgur.com/wM9dN.png "]}

Das Problem hier ist, dass unsere$\vartheta_3$sitzt direkt auf der natürlichen Grenze: Es ist eine analytische Funktion für$|q|<1$, aber es gibt nachweislich keine Möglichkeit, eine analytische Fortsetzung über seinen Konvergenzkreis hinaus bereitzustellen (und das ist irgendwie schade), und es gibt nachweislich keine Möglichkeit, daraus einen Sinn zu machen$|q|=1$, und genau da sind wir.

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Also... wo bleibt uns das? Unser netter Vermehrer$(\ast)$sah ganz nett aus, aber bei genauerem Hinsehen zeigt sich, dass es sich tatsächlich um mathematischen Unsinn handelt. Was bedeutet das und wie können wir es beheben?

Nun, es gibt ein paar Möglichkeiten, aber beide bedeuten im Wesentlichen, dass Sie nur interpretieren dürfen$\langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_2+\theta \rangle$als etwas, das als verallgemeinerte Funktion bezeichnet wird, auch als Verteilung bekannt : ein Objekt, ähnlich wie die Dirac-Delta-Funktion, das für sich genommen keinen Sinn ergibt, sondern nur, wenn es in Produkte mit anderen Funktionen integriert ist.

Es gibt zwei einfache Möglichkeiten, dies zu tun:

• Einer ist, den Komplex zu nehmen-$q$Sache ernst. Dies lässt sich leicht erreichen, indem man die Zeit angibt$\tau=\tau_0-i\delta$eine imaginäre Komponente ungleich Null, die bringt$|q|$bis unter$1$, und lässt$⟨ \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1 ⟩$Sinn ergeben.

  Wenn Sie dies tun, müssen Sie unbedingt beachten, dass normalerweise die einzigen physikalisch sinnvollen Größen, bei denen Sie den Propagator verwenden, Matrixelemente der Form sind$⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩$für physikalische Zustände$|f⟩$und$|g⟩$. Diese laufen letztendlich auf Integrale der Form hinaus

  $$\begin{align} ⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩ & = \int_0^{2\pi} ⟨0|U(t_2, t_1)|\theta⟩ F(\theta)\mathrm d\theta \\&= \int_0^{2\pi} \frac{ e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} }{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\frac{ \pi^2}{\kappa\tau}} \right)\mathclose{} F(\theta)\mathrm d\theta , \end{align}$$ und hier sagt das Rezept, dass Sie diese Integrale als Grenzwert von Integralen mit einem Wert ungleich Null lesen sollten$\delta$als das$\delta$geht auf null: $$\begin{align} ⟨f|U(t_2, t_1)|g⟩ & = \lim_{\delta\to 0} \int_0^{2\pi} \frac{ e^{-i\mu\phi^2\tau} e^{\frac{i (\lambda\phi\tau-\theta)^2}{4 \kappa\tau}} }{\sqrt{4\pi i \kappa\tau}} \vartheta_3\mathopen{}\left( \frac{\pi }{2 \kappa\tau}(\lambda\phi\tau-\theta), e^{i\pi^2/\kappa(\tau-i\delta)} \right)\mathclose{} F(\theta)\mathrm d\theta . \end{align}$$ Wenn Sie das tun, passiert das für jeden$\delta$Der Integrand ist gut definiert, analytisch und verhält sich vollkommen gut, und er gibt Ihnen ein vollkommen normales Ergebnis für das Integral. Noch wichtiger ist, dass sich diese Ergebnisse einer Grenze nähern$\delta\to0$so lange wie$F(\theta)$ist nicht absolut verrückt.

• Der andere Ansatz ist ähnlich, aber er ist serienbasiert, dh er erfordert, dass Sie unsere Originalserie vor der Auswertung zu sich nehmen$\vartheta_3$,

  $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{2},t_{1}\right) | \theta_1\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ und sehen Sie es als Hinweis darauf, dass Sie die nehmen müssen$|n|\to\infty$Grenze, nachdem Sie alle relevanten inneren Produkte getan haben, die Sie nehmen müssen. Für das obige Integral bedeutet dies beispielsweise das Verständnis von that $$\begin{align} \int_0^{2\pi} ⟨0|U(t_2, t_1)|\theta⟩ F(\theta)\mathrm d\theta &= \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau } \int_0^{2\pi} e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)} F(\theta)\mathrm d\theta , \end{align}$$ mit der Reihe nach dem Integral. Wenn$F(\theta)$brav ist, dann werden seine Fourier-Reihen-Koeffizienten mit sinken$|n|$ziemlich schnell, und die Reihe wird (puh!) wieder konvergieren - wie es für ein physikalisch relevantes Matrixelement erforderlich ist.

• Alternativ können Sie den Reihenausdruck nehmen, den wir zuvor hatten,

  $$\begin{align} \langle \theta_2 | U\left( t_{1}+\tau,t_{1}\right) | \theta_2+\theta\rangle & = \frac{e^{-i\mu\phi^2\tau}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}, \end{align}$$ und sie einfach als eine Identität zwischen Distributionen betrachten.

  Dieses Paradigma erfordert, dass Sie jede Zuordnung sehen$\theta\mapsto e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}$nicht als Funktion, sondern als Verteilung, die Sie dann zu einer Reihe zusammenzählen. Dies ist eine ziemlich starke Sache, da es erfordert, dass Sie aufhören zu sehen$⟨\theta_2|n⟩⟨n|\theta_1⟩$als etwas, das einen Wert hat, wenn man ihm einen bestimmten gibt$\theta_1$,$\theta_2$und$n$, aber wenn Sie dies tun, erhalten Sie einige nette mathematische Vorteile.

  Genauer gesagt jede der Distributionen$\theta\stackrel{\mathrm{DS}}{\mapsto} e^{-in^2\kappa \tau }e^{in(\theta-\lambda\phi\tau)}$ist eine temperierte Verteilung (dh die Art von Verteilung, die gut mit Fourier-Transformationen und Quantenmechanik spielt; siehe diese Anmerkungen , diese oder diese für weitere Details), und die Reihe wird nach oben termweise durch den Dirac-Kamm begrenzt , der auch a ist gemäßigte Verteilung, und dies ist ( wahrscheinlich? ) ausreichend, um zu zeigen, dass die Reihensummen zu einer gemäßigten Verteilung führen.

  In diesem Paradigma erhalten Sie also, dass der Propagator existiert und so schön ist, wie Sie ihn haben möchten (innerhalb der Grenzen, dass es sich um eine Verteilung handelt) und dass er tatsächlich die Grenze der Reihe auf der rechten Seite ist , solange man es im Distributionssinne nimmt.

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Das ist es, wirklich, und ich denke, das ist so klar, wie ich es machen kann. Ich schließe mit den zwei Referenzen, wo ich dieses Zeug gelernt habe,

L. Schulmann. Ein Pfadintegral für Spin. Phys. Rev. 176 No. 5, p. 1558. (1968) .

und

LS Schulmann. Techniken und Anwendungen der Pfadintegration (Dover, New York, 2005), S. 190-196.

und schließlich mit einem Zitat von Schulman (tatsächlich in beiden Referenzen vorhanden), das die Situation hier ziemlich genau beschreibt:

Der Grad an Pathologie, den diese Green-Funktion aufweist, ist unterhaltsam, insbesondere im Hinblick auf die Elementarität des Beispiels.