Lagrange aus dem Pfadintegral

Wenn Sie den Verbreiter kennen, dh.$\langle x'|e^{itH}|x\rangle\,,$dann könnte man zeitlich um differenzieren$t=0$zu bekommen$\langle x'|H|x\rangle\,.$Daraus haben wir mit der Auflösung der Identität$H|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx'\, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,,$von denen wir haben$V(x)|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty \, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{p^2}{2m}|x\rangle\,,$oder irgendeinen Zustand einnehmen$|\psi\rangle\,,$

$\displaystyle V(x)=\frac{\int_{-\infty}^\infty \, \langle\psi|x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{\Delta}{2m}\langle\psi|x\rangle}{\langle\psi|x\rangle}\,,$und dann$L=T-V\,.$

Es scheint also, dass es im Prinzip möglich sein sollte (ich habe jedoch in meiner Herleitung einige Annahmen über die Zeitunabhängigkeit des Hamilton-Operators getroffen, aber es scheint mir in diesem Moment, dass Sie es ohne diese Annahme ausarbeiten könnten).

Die Verbreiter selbst geben keinen Hinweis auf die Form des Lagrange. Sie liefern nur Informationen über die Art des Feldes - zB Skalar / Fermion / Vektorboson usw. (Schwerkraftmetrik?). Dinge, die darauf anspielen, wie die Lagrange-Funktion aussieht, sind Scheitelpunkte / Wechselwirkungen. Als einfaches Beispiel: Wenn Sie eine Feldtheorie haben$\phi$mit einem 4-Zacken-Scheitelpunkt, dann hat die Lagrange-Funktion (höchstwahrscheinlich).$\phi^4$-term, oder wenn Sie einen Boson-Fermion-Antifermion-Vertex haben, dann gibt es wahrscheinlich einen Term$e \, \bar{\psi} {\not}{A} \psi$...

Ich habe eine Vermutung, dass es im Allgemeinen nicht möglich sein könnte. Da Sie bereits über die Felder integriert haben, wäre dies ähnlich dem Versuch, das ursprüngliche Integral aus einer reellen Zahl zu finden. Auch das grundlegende Wegintegral$Z[0] =1$egal auf welchem ​​Gebiet, zum Beispiel.