Wie kann man beweisen, dass die im Exponenten des Pfadintegrals erscheinende Größe die Lagrange-Funktion ist?

In Zees Quantenfeldtheorie in einer Nussschale wird gezeigt, dass, wenn$H = \frac{\hat{p}^2}{2m}$, Dann

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 \, dt} Dq \end{equation}$$

und es gibt eine Bemerkung, dass wenn$H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(q)$Dann

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q) \, dt} Dq \end{equation}$$

Dies kann leicht bewiesen werden, sobald wir erkennen, dass wir approximieren dürfen$e^{(A + B)\delta t}$als$e^{A \delta t} e^{B \delta t}$in der Grenze wo$\delta t \to 0$.

und Zee kommt zu dem Schluss, dass die Größe, die im Integral im Exponenten erscheint, nur die Lagrange-Funktion ist.

Ich habe Probleme zu sehen, wie ich dies für komplexere Hamiltonianer (oder im Allgemeinen) ableiten kann. Lassen Sie uns zum Beispiel auf 3 Dimensionen verallgemeinern und nehmen

$$\begin{equation} H = \frac{1}{2m} (\hat{\mathbf{p}} - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}))^2 + e \varphi(\hat{\mathbf{x}}) \end{equation}$$

Wenn wir der Ableitung von Zee folgen, müssen wir dann herausfinden, wie wir die Amplitude auswerten, von der aus sie sich ausbreiten soll$\mathbf{x}_j$Zu$\mathbf{x}_{j+1}$rechtzeitig$\delta t$,

$$\begin{equation} \left\langle \mathbf{x}_{j+1} \left| \ \exp\left(-i \, \delta t \, \left[\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}^2 - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) + e^2 \hat{\mathbf{A}}^2(\hat{\mathbf{x}})) + e \varphi(\hat{\mathbf{x}})\right]\right) \ \right| \mathbf{x}_j \right\rangle = \, ? \end{equation}$$

Jetzt stecke ich fest. Wir können die im Exponenten vorkommenden Terme wieder einzeln betrachten, aber ich habe keine Ahnung, wie ich etwas von der Form auswerten soll$\langle \mathbf{x}_{j+1} | \exp(ik \hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}})) | \mathbf{x}_j\rangle$.

Ich weiß, dass im Allgemeinen das Multiplizieren des Impulsoperators mit einer Konstanten und dann das Nehmen des Exponentials einen Übersetzungsoperator ergibt, aber ich denke nicht, dass das hier gültig ist, weil wir anstelle einer Konstante haben$A(\hat{x})$, ein Operator, der nicht mit pendelt$\hat{p}$. Es stellt sich jedoch heraus, dass wir, wenn wir so tun, als ob dies funktioniert, am Ende die richtige Antwort erhalten. Aber das muss Glück sein ... richtig?

Allgemeiner gesagt ist es schwer zu sehen, wie die Auswertung dieser Amplituden im Allgemeinen eine Legendre-Transformation auf dem Hamilton-Operator durchführen kann. Warum sollte dieses Verfahren in der Lage sein, die benötigte Ableitung von zu extrahieren?$H$gegenüber$p$?