Konzeptionelle Fragen zur Pfadintegralformulierung von QFT

Question

Konzeptionelle Fragen zur Pfadintegralformulierung von QFT

Wille

Ich versuche gerade, mir die Pfadintegralformulierung von QFT beizubringen (nachdem ich zuvor den kanonischen Ansatz studiert habe), aber ich habe einige konzeptionelle Schwierigkeiten, die ich hoffentlich hier klären kann.

Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall eines freien, einzelnen reellen Skalarfelds. Die Pfadintegralformulierung für einen Zweipunktkorrelator ist in diesem Fall gegeben durch

⟨ 0 | T {\hat{ϕ} (X) \hat{ϕ} (j)} | 0 ⟩ = (- {ich}^{2}) \frac{1}{Z [0]} \frac{δ^{2} Z [J]}{δ J (X) δ J (j)} |_{J = 0}

$\langle 0\lvert T\lbrace\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)\rbrace\lvert 0\rangle =(-i^{2})\frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\bigg\lvert_{J=0}$ Wo

Z [J] = \int D ϕ e^{ich \int D^{4} X (- \frac{1}{2} ϕ (◻ + M^{2}) ϕ + J (X) ϕ (X))}

$Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\; e^{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}\phi (\Box +m^{2})\phi+J(x)\phi (x)\right)}$ ist das erzeugende Funktional für die freie Theorie.

Hier liegt mein Problem. Sind die Felder $\phi (x)$ im funktionalen $Z[J]$ klassische Felder oder sind es Operatorfelder?

Wenn es sich um klassische Felder handelt, definiert das Pfadintegral dann eine Art Abbildung zwischen Feldoperatoren $\hat{\phi}(x)$ und ihre klassischen (c-Nummer) Analoga?

Die Bücher, die ich bisher gelesen habe (Srednickis QFT-Buch und M. Schwartz's "QFT & the Standard Model") scheinen in diesem Bereich etwas mehrdeutig zu sein.

ACuriousMind

Das Pfadintegral integriert klassische Körper.

Wille

@ACuriousMind Das dachte ich, aber ich wollte sichergehen. Mit „klassischem Feld“ ist einfach der Feldwert an einem Raumzeitpunkt gemeint

x^{μ}

$x^{\mu}$ ein Eigenwert des Feldoperators ist

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ an diesem Punkt? Gibt es auch Bücher über den Pfad-Integral-Ansatz, die Sie besonders empfehlen würden?

QMechaniker

Im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/9183/2451

hft

Klassische Felder. Die LHS ist nur eine Zahl (wegen dem Erwartungswert <0| ... |0>). Daher muss die RHS auch nur eine Zahl sein, sodass die Felder auf der RHS nicht Operator-bewertet werden können. Dies ist ein unglücklicher Notationsmissbrauch.

Antworten (1)

Konzeptionelle Fragen zur Pfadintegralformulierung von QFT

@ACuriousMind Das dachte ich, aber ich wollte sichergehen. Mit „klassischem Feld“ ist einfach der Feldwert an einem Raumzeitpunkt gemeint $x^{\mu}$ ein Eigenwert des Feldoperators ist $\hat{\phi}(x)$ an diesem Punkt? Gibt es auch Bücher über den Pfad-Integral-Ansatz, die Sie besonders empfehlen würden?
Im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/9183/2451
Klassische Felder. Die LHS ist nur eine Zahl (wegen dem Erwartungswert <0| ... |0>). Daher muss die RHS auch nur eine Zahl sein, sodass die Felder auf der RHS nicht Operator-bewertet werden können. Dies ist ein unglücklicher Notationsmissbrauch.

Prof. Legolasov · Answer 1

Im Pfadintegral gilt $\phi$ ist kein Operator, sondern eine Dummy-Integrationsvariable, die über alle möglichen klassischen Feldkonfigurationen läuft.

Sie können zwischen den beiden Formalismen wechseln, indem Sie die folgende Beziehung verwenden:

⟨ 0 | T {\hat{A} \hat{B} . . . \hat{z}} | 0 ⟩ = \frac{\int D ϕ e^{ich S [ϕ] / ℏ} \cdot A (ϕ) B (ϕ) . . . z (ϕ)}{\int D ϕ e^{ich S [ϕ] / ℏ}},

$\left< 0 \right| T \left\{ \hat{a} \hat{b} ... \hat{z} \right\} \left| 0 \right> = \frac{\int D\phi e^{i S[\phi] / \hbar} \cdot a(\phi) b(\phi) ... z(\phi)}{\int D\phi e^{i S[\phi] / \hbar}},$

Wo:

$S[\phi]$ ist die klassische Aktion
$a(\phi), b(\phi), ..., z(\phi)$ sind einige klassische Observables (Funktionen auf dem Konfigurationsraum)
$\hat{a}, \hat{b}, ..., \hat{z}$ sind die entsprechenden Quantenoperatoren. Hier gibt es eine Ordnungsmehrdeutigkeit, die jedoch durch die aufgelöst wird
$T$ ist das chronologische Ordnungssymbol (es ordnet eine Reihe von Operatoren nach der Zeitkoordinate neu, absteigend)

Folgt dies auf der rechten Seite der Gleichung in Ihrer Antwort aus den Operatoren, die auf die Feldeigenzustände einwirken, z $\hat{a}\lvert \phi\rangle = a(\phi)\lvert\phi\rangle$ ? Ist es eine Art Abbildung zwischen dem Operatorformalismus und dem Pfadintegralformalismus, sodass sie dieselben Korrelationsfunktionen erzeugen?
@ Will genau. Beweise finden sich in fast jedem QFT-Lehrbuch.
@Will Peskin & Schreder wäre meine Wahl, obwohl es möglicherweise bessere Optionen gibt
In der rechten, innerhalb des Integrals: Wo sind die $a(\phi)$ ausgewertet? Da es sich um Funktionen des Konfigurationsraums und nicht um Funktionen handelt, sollte es so etwas wie sein $a(\phi(x))$ oder etwas ähnliches.
@Quantumwhisp Jedem Quantenoperator können wir eine Funktion einer klassischen Konfiguration zuordnen. Die Details dieses Verfahrens können in jedem Intro zu Pfadintegralen gefunden werden.

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Wille

ACuriousMind

Wille

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hft

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Wille

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