Funktionale Ableitung in der Faddeev-Popov-Methode (Lorenz Gauge)

$$\begin{align}{\rm Det} \left(\frac{\delta G}{\delta \alpha}\right) ~=~&\int {\cal D}c{\cal D}\bar{c}\exp\left(\int \!d^4x \int \!d^4y ~\bar{c}(x)\frac{\delta G(x)}{\delta \alpha(y)}c(y) \right) \cr ~=~&\int {\cal D}c{\cal D}\bar{c}\exp\left(\int \!d^4x \int \!d^4y ~\bar{c}(x) \frac{1}{e}\partial_x^2\delta(x-y) c(y) \right)\cr ~=~& {\rm Det} \left(\frac{1}{e}\partial^2\right).\end{align}$$

Dies sollte ungefähr vertraut sein, wenn man die üblichen Feynman-Regeln aus der Pfadintegralformulierung erhält, obwohl es normalerweise nicht so formuliert wird.

Kurz gesagt, die funktionale Determinante eines Operators wird durch die Trace-Log-Formel definiert,

$$\det A=e^{\text{tr}\log A}$$ was durch Nachdenken über Eigenwerte bewiesen werden kann. Damit diese Operationen auf einem Differentialoperator sinnvoll sind, gehen wir jedoch normalerweise zur Fourier-Basis über, wo alle Ableitungen nur Impulse sind.

Tatsächlich tun wir dies, wenn wir die Feynman-Regeln aufschreiben. Denken Sie daran, dass die Berechnung der Sattelpunktnäherung des Pfadintegrals (mit source$J\phi$) ergibt

$$Z[J]\sim e^{J^T\Delta J},$$ entsprechende Integrationen impliziert. Von hier aus wenden wir die üblichen Einnahmetricks an$J$Derivate, um Korrelatoren zu erhalten, dies$\Delta$der Feynman-Verbreiter zu sein.

Die Art und Weise, wie diese Annäherung funktioniert, besteht darin, die Wirkung zu schreiben, die Taylor auf die zweite Ordnung erweitert hat, um den Sattelpunkt herum (was normalerweise als angenommen wird$\phi=0$in Peskin und Schroeder, muss aber nicht sein und tatsächlich hat diese Tatsache wichtige Implikationen in Bezug auf Instantonen), so schreiben wir

$$S[\phi]=S_0+\frac{1}{2}\phi \frac{\delta^2 S}{\delta \phi\delta\phi}\phi+J\phi + \mathcal{O}(\phi^3),$$ Integrationen werden bei Bedarf erneut impliziert. Im typischen Fall eines Skalarfeldes $$\frac{\delta^2 S}{\delta \phi\delta\phi}=\partial^2-m^2$$ bis hin zu Zeichen.

Hier kommt alles zusammen, wir wissen natürlich, dass der Feynman-Propagator die Umkehrung dieses Operators sein sollte$\partial^2-m^2$, aber der Trick, den wir normalerweise anwenden, besteht darin, zur Fourier-Basis zu wechseln, wo sich dieser Operator befindet$-k^2-m^2$also ist seine Umkehrung gegeben durch

$$\frac{-1}{k^2+m^2},$$ das ist der Propagator bis zu einem Faktor von$i$.

Fragen Sie also nach der Determinante von$\partial^2$sollte angesichts der Tatsache, dass wir den Operator invertieren, nicht so schlimm sein$\partial^2-m^2$die ganze Zeit (obwohl es zugegebenermaßen objektiv schlechter zu berechnen ist).