Abgeschnittene NNN-Punktfunktionen

Es geht im Grunde darum, mit Definitionen/Notationen konsistent zu sein.

1. Der$n$-Punkt-Funktion, bezeichnet mit

   $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ ist durch die Summe über alle Feynman-Diagramme mit gegeben$n$externe Beine, und wo jede Linie einem Propagator entspricht und jeder Scheitelpunkt einem bloßen Scheitelfaktor (z. B.$ig$); siehe ref.1, §6-1-1 für weitere Details.

2. Das Verbundene$n$-Punkt-Funktion, bezeichnet mit

   $$G^{(n)}_c(x_1,\dots,x_n)$$ ist durch die Summe über alle zusammenhängenden Feynman-Diagramme mit gegeben$n$externe Beine, und wo jede Linie einem Propagator entspricht und jeder Scheitelpunkt einem bloßen Scheitelfaktor (z. B.$ig$). Die Funktionen$G$Und$G_c$verwandt sind durch $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\cup I_\alpha=I}\prod_\alpha G^{(n)}_c(\{x_{I_\alpha}\})\tag{5-52}$$ Wo$I=(1,\dots,n)$. (Diese Beziehung lässt sich viel einfacher in Form von erzeugenden Funktionen ausdrücken, vgl.$Z(j)=\exp(Z_c(j))$; siehe ref.1, §5-1-5 für weitere Details).

3. Das abgeschnittene$n$-Punkt-Funktion, bezeichnet mit

   $$G^{(n)}_t(x_1,\dots,x_n)$$ ist durch die Summe über alle Feynman-Diagramme mit gegeben$n$externe Beine, und wo jede Linie einem Propagator entspricht, mit Ausnahme der externen Beine (die keinen Faktor tragen), und jeder Scheitelpunkt einem nackten Scheitelfaktor (z. B.$ig$). Die Funktionen$G$Und$G_t$verwandt sind durch $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$

   Auf ähnliche Weise kann man das Abgeschnittene und das Verbundene definieren$n$-Punkt-Funktion:

   $$G_c^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_{c,t}(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$ deren schematische Bedeutung klar sein sollte.

4. Es gibt noch einen anderen Begriff von abgeschnitten$n$-Punkt-Funktion, die ich nicht nützlich finde, die lautet

   $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int G^{(2)}\cdots G^{(2)}(x_n,y_n) \tilde G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n\tag{6-70}$$ mit voller Zweipunktfunktion$G^{(2)}$anstelle des Verbreiters$\Delta$. Die Hauptverwendung für abgeschnitten$n$-Punktfunktionen ist, dass sie direkt in die LSZ-Formel eingespeist werden können; aber wie im letzteren nehmen wir$p^2\to m^2$, und in dieser Grenze haben wir$G^{(2)}\to \Delta$, gibt es keinen Unterschied: Beide funktionieren beim Rechnen einwandfrei$S$-Matrixelemente. Aus konzeptioneller Sicht ist die Funktion$G_t$wie oben definiert scheint viel natürlicher als$\tilde G_t$, aber der Leser sollte beachten, dass beide Begriffe in der Literatur verwendet werden.

5. Das Richtige$n$-Punkt-Funktion, bezeichnet mit

   $$\Gamma^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ ist durch die Summe über alle Ein-Teilchen-irreduziblen Feynman-Diagramme mit gegeben$n$Außenschenkel, und wo jede Linie einer vollständigen Zweipunktfunktion entspricht$G^{(2)}=G^{(2)}_c$ mit Ausnahme der äußeren Schenkel (die keinen Faktor tragen) und jeder Scheitelpunkt auf einen vollen Scheitelfaktor. Die Funktionen$G_c$Und$\Gamma$verwandt sind durch $$G_c^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int G^{(2)}(x_1,y_1)\cdots G^{(2)}(x_n,y_n) \Gamma^{(n)}(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n+\cdots$$ Wo$+\cdots$entspricht Termen niedrigerer Ordnung (mit$\Gamma^{(n-1)},\Gamma^{(n-2)},\dots$). (Die Beziehung lässt sich viel einfacher in Form von erzeugenden Funktionen ausdrücken, vgl.$Z_c(j)$Und$\Gamma(j)$sind Legendre-dual; siehe ref.1, §6-2-2 für weitere Details).

Es muss erwähnt werden, dass alle Beziehungen zwischen Funktionspaaren$G,G'$oben geschrieben sind invertierbar, also kann man sagen,$G_c$als Funktion von$G$und umgekehrt. Aber dieses „Umgekehrte“ ist im funktionalen Sinne zu verstehen, z.

$$\int A(x,y)A^{-1}(y,z)\ \mathrm dy\equiv \delta(x,z)$$

Das bedeutet zum Beispiel die Umkehrung von

$$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$ Ist $$G_t^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\mathscr D_{x_1}\cdots \mathscr D_{x_n} G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ Wo $\mathscr D_x\Delta(x,y)\equiv \delta(x,y)$(Modulo-Zeichen, die mir hier egal sind).

Im Impulsraum werden Faltungen zur Standardmultiplikation (vgl. diesen PSE-Beitrag ), und daher ist die funktionale Umkehrung im Grunde die algebraische Umkehrung. Daher werden die obigen Beziehungen

$$\begin{aligned} G^{(n)}(p_1,\dots,p_n)&=\Delta(p_1)\cdots \Delta(p_n) G^{(n)}_t(p_1,\dots,p_n)\\ G_t^{(n)}(p_1,\dots,p_n)&=\Delta(p_1)^{-1}\cdots \Delta(p_n)^{-1} G^{(n)}_t(p_1,\dots,p_n) \end{aligned}$$ wie im OP (oder ersetzen $\Delta\to G^{(2)}$wenn Sie verwenden möchten $\tilde G_t$anstatt $G_t$).

Beachten Sie, dass alle diese Definitionen für Theorien funktionieren, bei denen die Felder einen beliebigen Spin oder eine beliebige Grassmann-Parität haben können. wenn das Feld nicht skalar ist, fügt man hier und da einfach mehr Indizes ein, und wenn es ungerade nach Grassmann ist, fehlen einige Zeichen, die ich vernachlässigt habe. Das Ausfüllen der Details bleibt dem Leser überlassen.

Verweise.

1. Itzykson & Zuber - Quantenfeldtheorie .