Wie lassen sich die Feynman-Regeln am Lagrangeian ablesen?

Denken Sie daran, dass es fast unmöglich ist zu erklären, wie störungsbedingte QFT-Berechnungen aus Lagrange-Operatoren folgen, sodass die Antwort sowohl relativ kurz als auch detailliert ist. Also werde ich eine einleitende Antwort schreiben. Wenn Sie weitere Einzelheiten zu einem seiner Teile wünschen, können Sie in Lehrbüchern nachschlagen oder mich in den Kommentaren darüber informieren. In diesem Fall werde ich in Betracht ziehen, diese Antwort zu aktualisieren.

Angenommen, Ihr Modell hat$n$Quantenfelder (sie können als Poincaré-Multiplets organisiert sein oder alle Skalare sein, für das Folgende spielt es keine Rolle). Der generische Ausdruck für den quadratischen Term im Lagrange ist also

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \left( K_{ab} \partial_{\mu} \phi^{a} \partial^{\mu} \phi^{b} - M_{ab} \phi^{a} \phi^{b} \right).$$

(Tatsächlich, wenn einige der Felder Raumzeit-Indizes haben, könnte es zusätzliche Begriffe wie geben$N_{\alpha a} \psi_{\mu}^{\alpha} \partial^{\mu}\phi^{a}$, aber sie können in derselben Angelegenheit behandelt werden, sodass wir die Allgemeingültigkeit nicht verlieren, wenn wir dieses Problem hier einfach ignorieren.)

Zuerst möchten wir diesen Lagrange-Operator erneut ausdrücken, indem wir die Integration nach Teilen verwenden (denken Sie daran, dass der Lagrange-Operator über die Raumzeit integriert wird, um die Aktion des Systems anzugeben, die seine Dynamik beschreibt), wie folgt:

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \phi^{a} \hat{Q}_{a b} \phi^{b},$$

Wo$\hat{Q}$ist der lineare Differentialoperator zweiter Ordnung, der auf Felder wirkt. Er wird Euler-Lagrange-Operator genannt, weil er die klassischen Bewegungsgleichungen durch generiert

$$\hat{Q}_{ab} \phi^{b}_{\text{classical}} = 0.$$

Beispielsweise stellt sich für das Multiplett von Klein-Gordon-Feldern heraus, dass dies der Fall ist

$$\hat{Q}_{ab} = \delta_{ab} \Box + M_{ab},$$

Wo$M_{ab}$heißt Massenmatrix. Die Grundlage, in der$M_{ab}$Diese Diagonale ist eine geeignete Basis zum Ausdrücken von Feldern, die Elementarteilchen zugeordnet sind, wobei die Diagonalwerte die Massen im Quadrat der Elementarteilchen sind. Der d'Alambert-Operator ist$\Box = \partial_{\mu} \partial^{\mu}$.

In der Quantentheorie wollen wir den Propagator oder das zeitlich geordnete Produkt zweier Feldoperatoren berechnen:

$$\Delta^{ab} (x, y) = \left< \phi^{a}(x) \phi^{b}(y) \right>.$$

Es stellt sich heraus, dass der Propagator gleich der Feynman-Green-Funktion des Differentialoperators ist$\hat{Q}$, die sich im Pfadintegralformalismus ableiten lässt:

$$\hat{Q}_{ab}(x) \Delta^{bc} (x, y) = i \delta_a^c \delta^{(4)} (x - y).$$

Das ist gemeint, wenn man den quadratischen Term im Lagrange richtig behandelt.

An dieser Stelle sei erwähnt, dass manchmal der Betreiber$\hat{Q}_{ab}$ist singulär , hat also keine Umkehrung in der Klasse der Funktionen mit Strahlungsrandbedingungen. Dies liegt an der Eichinvarianz. Der einfachste Fall, in dem dies auftaucht, ist der freie Maxwell Lagrangeian.

Die moderne Art, damit umzugehen, ist die formale Manipulation mit Pfadintegralen, die als Faddeev-Popov-Verfahren bezeichnet wird und zusätzliche Terme in die Lagrange-Funktion einführt (Eichmaßfixierungsterm und möglicherweise Geisterfelder). Der resultierende Lagrangian ist immer noch auf dasselbe physikalische Modell anwendbar (was durch das Faddeev-Popov-Verfahren garantiert wird), aber sein Differentialoperator ist nicht singulär und der Propagator kann berechnet werden. Dieser Propagator erweist sich als unphysikalisch und hängt von dem unphysikalischen Eichfixierungsparameter ab, aber wenn er verwendet wird, um S-Matrix-Elemente zwischen physikalischen Zuständen zu berechnen, verschwindet die Abhängigkeit von dem unphysikalischen Parameter und die Eichinvarianz wird wiederhergestellt.

(Tatsächlich ist die Eichinvarianz in der modifizierten Lagrange-Funktion in Form von BRST-Supersymmetrie immer noch vorhanden. Verwechseln Sie sie nicht mit SUSY.)

Betrachten Sie nun eine Störung der Lagrange-Funktion, dh einen Term höherer Ordnung. Wir behandeln solche Störungen, indem wir, ziemlich einfallslos, die Störungstheorie verwenden. Im Weg-Integral-Formalismus kann dies durch Taylor-Erweiterung des Exponentials der Lagrange-Wechselwirkung erfolgen und zu einem Teil des Korrelationsfunktionals gemacht werden, wobei der quadratische Term als effektives Aktionsfunktional beibehalten wird. Dann können wir den Satz von Wick anwenden (der nur für quadratische Aktionen gilt, aber hey, das bleibt übrig, nachdem wir den Wechselwirkungsterm erweitert haben) und das würde uns zu den Feynman-Regeln führen.

Dieser Teil ist normalerweise in allen Theorien gleich, und die endgültigen Feynman-Regeln können leicht vorhergesagt werden, indem man sich einfach die Struktur des Wechselwirkungsterms in der Lagrange-Funktion ansieht. Das ist mit "Feynman-Regeln ablesen" gemeint.

Betrachten Sie beispielsweise ein einzelnes Klein-Gordon-Feld mit einem Wechselwirkungsterm 4. Ordnung

$$\mathcal{L}_4 = - \frac{\lambda}{4!} \phi^4.$$

Wir möchten es in einem beliebigen Ausdruck für die Korrelationsfunktion eines beliebigen Funktionals taylor-expandieren$F$:

$$\left< F[\phi] \right> = \int D\phi \exp \left[ i \int (\mathcal{L}_2 + \mathcal{L}_4) \right] F[\phi] =$$

$$\left< F[\phi] \left( 1 + i \int \mathcal{L}_4 + \frac{i^2}{2} \intop_x \intop_y \mathcal{L}_4 (x) \mathcal{L}_4 (y) + \dots \right) \right>_0,$$

wo der Index$<>_0$bedeutet, dass wir die freie Theorie Aktion verwenden, die ist$\int \mathcal{L}_2$, für die der Satz von Wick gilt.

Jedes Integral in der obigen Reihe entspricht dann der Hinzufügung eines Interaktionsscheitels zum Feynman-Diagramm. Der Ausdruck für den Scheitelpunkt ist leicht abzuleiten: er ist gleich

$$- \frac{i \lambda}{4!} \int d^4 x,$$

wobei das Integral über der Position des Scheitelpunkts liegt. Der Faktor von$4!$erscheint auch im Zähler, weil wir genau haben$4!$Möglichkeiten, 4 Betreiber am selben Punkt mit 4 anderen Betreibern durch Vermehrer zu beauftragen. Somit heben sich die Faktoren schön auf (tatsächlich war dies der Grund für die Auswahl$\lambda$so dass$4!$tritt in den Nenner von ein$\mathcal{L}_4$an erster Stelle).

Also konnten wir entweder behalten$4!$im Scheitelpunktausdruck und betrachten Sie die$4!$verschiedene Kontraktionen, die nach Anwendung des Wickschen Theorems auftreten, sind nicht äquivalent, oder wir können sie als äquivalent betrachten und die Faktoren von kürzen$4!$was in der literatur üblich ist.

Ich hoffe, das beantwortet Ihre Frage.