Feynman scheidet aus dem Lagrange aus

Gemäß Kapitel 10, Abschnitt 10.6 der Feynman-Regeln der „Einführung in Elementarteilchen“ von David Griffiths gibt es eine Möglichkeit, den Scheitelpunkt und die Propagatoren einfach durch Betrachtung der Lagrange-Funktion zu extrahieren:

1) Propagatoren: Nehmen Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen der freien Felder und die Umkehrung der Operatoren im Impulsraum, die auf die Felder wirken, und multiplizieren Sie mit$i$sind die Propagatoren für jeden.

2) Vertex: Nehmen Sie die Lagrange-Wechselwirkung und multiplizieren Sie sie mit$i$. Nutzen Sie das Rezept$i\partial_\mu \rightarrow k_\mu$und die Felder ausradieren. Der Rest ist der Scheitel.

Meine Fragen sind:

a) Wenn ich den Scheitelpunkt für die Lagrange-Wechselwirkung berechnen möchte${\cal L}_{int} = g\varphi\partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$(alle Skalarfelder), nach Regel 2) bekomme ich${\rm vertex} = -igk_1k_2$. Trotzdem ist anscheinend die Lösung$-2ig(k_1k_2 + k_1k_3 + k_2k_3)$. Wo sind diese zusätzlichen Faktoren entstanden?

b) Wenn ich eine ähnliche Interaktion wie in a) hätte , aber ein Feld durch ein neues ersetzt hätte$\chi$(auch Skalar), also${\cal L}_{int} = g\chi \partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$, wäre die Lösung$-2igk_1k_2$mit$k_i$die Impulse von$\varphi$Felder?

c) Dieses Buch gewährt Ihnen das für QCD, mit${\cal L}_{int}^{3\ fields} = g\{[\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu]·(A_\mu \times A_\nu) + (A^\mu \times A^\nu)·[\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu]\}$, können Sie den 3-Felder-Vertex erhalten, der als bekannt ist${\rm vertex} = -gf^{\alpha \beta \gamma}[g_{\mu \nu}(k_1 - k_2)_\lambda + g_{\nu \lambda}(k_2 - k_3)_\mu + g_{\lambda \mu}(k_3 - k_1)_\nu]$. Ich habe versucht, es aus Regel 2) zu bekommen, aber ich konnte es nicht.