Das Pfadintegral und Feynman-Diagramme

Wie kam er zum Beispiel darauf, den Propagator als Fortpflanzung von Teilchen zu interpretieren?

Das Wegintegral wird üblicherweise als Matrixelement des Zeitentwicklungsoperators eingeführt

$$\langle x_f\lvert\mathrm e^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}\lvert x_i\rangle,$$ Dies ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, ein System im Endzustand und in der Endzeit zu finden $x_f,t_f$als es im Zustand war $x_i$zum Zeitpunkt $t_i$anfänglich. Es ist ziemlich plausibel, es Propagator zu nennen, da es einen unmittelbaren Zugang zu der Wahrscheinlichkeit gibt, dass sich ein System, vielleicht nur ein einzelnes Teilchen, aus dem Zustand ausbreitet $x_i$zu $x_f$rechtzeitig $t_f-t_i$. Wahrscheinlich ist es schwieriger zu verstehen, dass dieser Begriff immer noch beibehalten wird, wenn das Pfadintegral verwendet wird, um die große Zustandssumme in der Quantenstatistik zu berechnen.

Gibt es ein Verständnis, das durch das Lernen gewonnen werden kann, wie die Technik ursprünglich entwickelt wurde?

Die Idee, Formeln durch Knoten und Verbindungen zwischen ihnen zu symbolisieren, wird in vielen anderen Bereichen verwendet und war damals wahrscheinlich nicht neu. Die Idee ist im Grunde die eines Isomorphismus zwischen einer Klasse von Graphen und bei eindeutiger Übersetzungsvorschrift den vorliegenden Formeln. Dies stellt eine intuitive Verbindung zur Graphentheorie her und erleichtert ihre Anwendung, wenn beispielsweise ein Diagramm „zusammenhängend“ oder „nicht zusammenhängend“ genannt wird, was bedeutet, dass die jeweilige Formel faktorisiert werden kann oder nicht. Ein weiteres Beispiel dieser Art, das nicht mit Feynman verwandt ist, ist die schematische Behandlung des klassischen Ising-Modells.

Mir wurde beigebracht, dass die Feynman-Diagramme als intelligente Methode entstanden sind, um die komplizierten Berechnungen niederzuschreiben, die bei der störungsbasierten Herangehensweise an das Pfadintegral auftreten.

Der Schlussstein ist die wohlbekannte Wick-Regel, die es erlaubt, Standard- und Grassmannsche Integrale von Korrelationen mit Gaußschen Maßen, zB einem Ausdruck wie, zu berechnen

$$\int dx_1\cdots dx_n \ x_{j1}\cdots x_{jn} \ \exp\{- (\hat{x},A\hat{x})\}$$ wird als Summe mehrerer Begriffe umgeschrieben, einer für jede Art des "Abschließens". $x_{j1}\cdots x_{jn}$in Paare. Insbesondere jedes Paar $x$'s zusammengezogen, wird auch einen Beitrag liefern, der proportional zu einem Eintrag der Umkehrung von ist $A$.

In der auf QFT angewendeten Pfadintegralformulierung müssen wir ähnliche Integrale berechnen, wobei die$x$durch Felder ersetzt werden, und die$A$des quadratischen Terms ist ein weniger triviales Objekt, aber es wird angenommen, dass die Wick-Regel immer noch gilt. (Zumindest wurde mir das beigebracht.) Die Umkehrung von$A$brauchen eine geeignete Verallgemeinerung, und es wird angenommen, dass es sich um seine grüne Funktion handelt, also sehen Sie, dass die Wick-Regel Propagatoren erscheinen lässt.

Um wechselwirkende Theorien zu beschreiben, benötigt man zusätzliche Begriffe im Exponentialargument, wie z$(\hat{J},\hat{x})$oder$\hat{x}{}^4$. Das ruiniert das Spiel, da nun die Wick-Regel nicht mehr gilt. Hier tritt die Idee auf, die Exponentialfunktion der neuen Terme zu erweitern$(\exp\{f(x)\} = 1 + f(x) + f(x)^2/2 + \cdots)$, so dass Sie sich mit einer Reihe von Integralen wiederfinden, die über die Wick-Regel berechenbar sind. Abhängig vom Feldtyp, bosonisch (Standardintegral) oder fermionisch (Grassmann-Integral), und den Termen, die Sie in die Exponentialfunktion eingegeben haben, können Sie die Kontraktionen der Wick-Regel bildlich darstellen, indem Sie einige Regeln beachten (Feynman Regeln), natürlich sind die erhaltenen Zeichnungen die Feynman-Diagramme.

Im Allgemeinen haben Sie Scheitelpunkte für jedes Feld, das im Integral erscheint (außerhalb der Exponentialfunktion des Gaußschen Maßes), und die Kontraktionen zwischen Paaren werden durch Linien dargestellt.

Eine Referenz, die ich sehr interessant finde, ist „Non-perturbative renormalization“ von Vieri Mastropietro, im Abschnitt „Grassmannsche Maße“ werden die Feynman-Diagramme als eine sehr natürliche Art dargestellt, die Wick-Regel für das Grassmannsche Integral darzustellen, ohne etwas über QFT zu erwähnen.

Ich habe entweder in einem von Feynmans Büchern oder in der Biografie Genius: The Life and Science of Richard Feynman von James Gleick gelesen, dass Feynman auf einer Konferenz in einem Hotelzimmer war und versuchte, im Pyjama und bei einigen ein Pfadintegral zu erarbeiten Point fand sich von einem Haufen Papierfetzen umgeben, die jeweils einen Begriff in einer Störungserweiterung enthielten. Dies waren im Grunde sogenannte Feynman-Diagramme. Wenn ich mich richtig erinnere (ich habe das Buch nicht vor mir liegen), traf er sich auf der Konferenz mit jemand anderem, der eine ähnliche Idee verwendet hatte, und sie erkannten, dass es eine gute Idee war, und teilten sie mit anderen.

PS Das Buch von Gleick ist wirklich gut.

BEARBEITEN: Laut den Kommentaren unten stammt die Geschichte, an die ich mich erinnere, aus The Pleasure of Finding Things Out . Außerdem erscheint die eigentliche Erklärung, woher die Diagramme kommen, im Buch ein paar Seiten vor der Geschichte, die ich beschrieben habe.