Finden von Feynman-Regeln für reduzierte/Pseudo-QED

Lassen Sie uns die Aktion aufschreiben und jeden Begriff einzeln untersuchen.

$$S = \int d^{d+1}x \Big[ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota\gamma^\mu (\partial_\mu + ieA_\mu) \psi(x)-\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}(x) -\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2(x) \Big]$$

Der erste Term ist der kinetische Term für das Fermionische Feld (masseloses Elektron) und definiert somit den Propagator. Zuerst integrieren wir die Delta-Funktion heraus.

$$\newcommand{\fsl}[1]{#1\kern-0.4em\raise0.22ex\hbox{/}} \int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x) = \int d^dx \ \bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x)$$

Die Green-Funktion wird mit definiert

$$\iota \fsl{\partial} S_F (x-y) = \iota \delta^{(d)}(x-y) \, ,$$

was im Impulsraum impliziert

$$\fsl{k} \tilde{S}_F(k)=\iota$$ $$\Rightarrow \boxed{\tilde{S}_F(k) = \frac{\iota}{\fsl{k}}}$$

Der nächste Term in der Aktion gibt die Wechselwirkung zwischen Licht und Elektronen an. Dazu kommen wir in Kürze. Die letzten beiden Terme bilden den Propagator für die Photonen. Schreiben Sie wie üblich die elektromagnetischen Feldstärken in Bezug auf das Eichfeld um und finden Sie dann die entsprechende Greensche Funktion im Impulsraum.

$$\begin{align*} \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}-\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2 \Big] &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu}(-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}\partial^2 + \partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu}) A^\hat{\nu} + \frac{1}{2} A^\hat{\mu}\partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu} A^\hat{\nu} \Big] \\ &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu} (-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}) \partial^2 A^\hat{\nu} \Big] \\ \end{align*}$$

Daher erhalten wir die Green-Funktion wie folgt.

$$\eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \partial^2 {D_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(x-y) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu} \delta^{(d)}(x-y)$$

$$\Rightarrow -k^2 \eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu}$$

$$\Rightarrow \boxed{ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \frac{-\eta_{\hat{\lambda}\hat{\nu}} } {k^2} } \, ,$$

Wo$k^2 = k_\hat{\mu} k^\hat{\mu}$.

Untersuchen Sie nun den letzten Term in der Aktion. Beachten Sie, dass die Wechselwirkung mit dem Photonenfeld nur in der D-Brane stattfindet (der Polarisationsvektor eines wechselwirkenden Photons liegt vollständig in der$d$-Brane). Wir können die Delta-Funktion sicher integrieren.

$$\int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \gamma^\mu (\iota e A_\mu) \psi = \int d^dx \ \bar{\psi}(-e) \fsl{A} \psi$$

Erinnern Sie sich, dass die Korrelationsfunktion eine hat$e^{iS}$innerhalb der Zeitordnung, die wir perturbativ erweitern, bevor wir die Wick-Kontraktionen ausführen (alternativ ist das erzeugende Integral ein funktionales Integral des obigen Exponentials). Daher würde der Interaktionsknoten einen Term proportional zu beitragen$-\iota e \gamma^\mu \int d^dx$was uns im Impulsraum den folgenden Ausdruck geben würde.

Beachten Sie als letzte Bemerkung, dass die Photonenpolarisation entlang der ausgerichtet ist$x^d$-Achse entkoppelt von der$d$-Brane-Wechselwirkungen können wir getrost ignorieren$\hat{\mu}=d$Terme aus dem Zähler des Photonenpropagators.

Bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich konzeptionelle Fehler gemacht habe.