Feynman-Pfade der FTL-Geschwindigkeit haben imaginären Impuls?

Das reale Momentum hat absolut und absolut 100% nichts damit zu tun, ob eine Tangente an eine Kurve zeitartig, lichtartig oder raumartig ist.

Der Energie-Impuls-Vektor zeigt in Richtung der Tangente an die Weltlinie des Teilchens. Die Weltlinie befindet sich in einer realen vierdimensionalen Raumzeit, daher hat ihre Tangente 4 reale Komponenten. Ob die Tangente zeitartig, lichtartig oder raumartig ist, wird dadurch bestimmt, ob:

$$(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2,$$ positiv, Null bzw. negativ ist.

Um eine raumähnliche Tangente zu haben, muss man einfach haben$(c\Delta t)^2<(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2.$Um eine zeitähnliche Tangente zu haben, muss man einfach haben$(c\Delta t)^2>(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2.$Für beide Fälle ist nichts Imaginäres erforderlich.

Wenn Sie ein massives Teilchen mit einer zeitähnlichen Tangente hatten, können Sie den Tangentenvektor "Einheit" skalieren:

$$u=\frac{(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}},$$ durch die Masse, um den Energie-Impuls-Vektor zu erhalten: $$mu=\frac{m(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}}.$$

Wenn Sie ein massives Teilchen mit einer raumähnlichen Tangente hatten, können Sie den Tangentenvektor "Einheit" skalieren:

$$u=\frac{(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2-(c\Delta t)^2}},$$ durch die Masse, um den Energie-Impuls-Vektor zu erhalten: $$mu=\frac{m(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2-(c\Delta t)^2}}.$$

In beiden Fällen gibt es eine Weltlinie, sie hat eine Tangente mit einer Einheitsgröße und ein Energie-Impuls-Vektor zeigt in der Raumzeit in genau die gleiche Richtung, ist aber durch die Masse skaliert. Eine lichtähnliche Kurve ist tatsächlich anders, weil dann ein Energie-Impuls-Vektor nur ein Vektor ist, der tangential ist, nur dass keine Länge mit einer bestimmten Größe des Energie-Impuls-Vektors verbunden ist.

Kommen wir also zu dem, was es bedeutet, unterschiedliche Tangenten zu haben. Sie sind Vektoren. Sie können unterschiedliche Richtungen haben, sie befinden sich in der Raumzeit, also entsprechen diese unterschiedlichen Richtungen unterschiedlichen Geschwindigkeiten, sie entsprechen sogar FTL-Geschwindigkeiten, wenn eine Kurve so ist. Was ist also die Masse eines Energie-Impuls-Vektors? Es ist nur die Länge. Es ist nichts mehr, es war nie. Es ist nicht die Quelle der Schwerkraft (Energie und Impuls und Spannung sind und waren es immer), es ist nichts, was man addiert, um eine Summe zu erhalten (nur wenn die Vektoren in fast dieselbe Richtung zeigen, ist die Länge der Summe fast gleich zur Summe der Längen), ist es nichts als eine Länge.

Anhand der Energie und der Länge können Sie die Größe des Impulses ermitteln. Anhand des Impulses und der Länge können Sie die Größe der Energie ermitteln. Es geht wirklich um das Gleichgewicht zwischen Energie und Schwung.

Timelike bedeutet mehr Energie als Schwung. Raumähnlich bedeutet mehr Schwung als Energie. Lightlike bedeutet gleiche Mengen von beidem. Absolut nichts tieferes. Raumähnlich bedeutet also nur, dass Sie einen Überschuss an Schwung für Ihre Energie haben. Es geht nicht um imaginären Impuls, das ist eine geometrische Sache in einer echten 4D-Mannigfaltigkeit.

Wenn Sie sich also in einem Bereich bewegen möchten, in dem Ihr Schwung und Ihre Energie nicht so ausbalanciert sind, wie sie normalerweise sind, müssen Sie sich mit der Schale bewegen , das heißt mit einer ungewöhnlichen Länge. Dies geschieht bei pfadintegralen Verfahren. Sie müssen nur akzeptieren, dass Pfade in jede gewünschte Richtung gehen können und dass der Energie-Impuls-Vektor in die Richtung in der Raumzeit zeigt, in die sich das Teilchen bewegt, sodass FTL-Partikelpfade nur Energie-Impuls-Vektoren mit mehr Impuls als Energie sind.

Um es klar zu sagen, Sie können einen beliebig kleinen (aber echten Impuls) auswählen, und solange Sie die Energie super noch kleiner machen, können Sie sich mit beliebig schnellen Geschwindigkeiten bewegen. Geben Sie ihm null Energie (also eindeutig Off-Shell ) und er bewegt sich unendlich schnell. Jede Geschwindigkeit meistern wir nur mit echtem Schwung.

Menschen, die Ihnen ein imaginäres Momentum verkaufen wollen, haben wahrscheinlich nur eine Annahme oder Voreingenommenheit, die sie mitgenommen haben.

Da es bei Ihrer Frage um spezielle relativistische Phänomene geht, denke ich, dass der beste Weg, Ihre Frage im Kontext der Quantenfeldtheorie zu beantworten, der Propagator im Fall einer Skalarfeldtheorie definiert ist als:

$$W(x-y)=\langle0|T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle$$ was über folgende Gleichung in Beziehung zur Pfadintegralformulierung der QFT gesetzt werden kann: $$W(x-y)=\int D[\phi]\phi(x)\phi(y)e^{iS[\phi]}$$ das ist der Erwartungswert des zusammengesetzten Operators $\phi(x)\phi(y)$auf alle möglichen Feldkonfigurationen mit gewichtet $\\e^{iS[\phi]}$. Im Pfadintegral werden alle Feldkonfigurationen ausgewertet, da auch unphysikalische Konfigurationen zur Wahrscheinlichkeitsamplitude beitragen, auch wenn sie nicht beobachtbar sind. Solche Feldkonfigurationen haben ein geringeres Gewicht auf das Ergebnis der Integration, da sie sich gegenseitig stören und die klassische Konfiguration verlassen (diejenige, die die Aktion stationär macht). $\delta S=0$) als am relevantesten. Jetzt betone ich das alles, weil es wichtig ist zu verstehen, dass Partikel in der QFT keine wohldefinierten Objekte sind, da sie nicht über ihre Compton-Wellenlänge hinaus lokalisiert werden können $\lambda_c=\frac{\hbar}{mc}$Aus diesem Grund ist der Weg eines Teilchens nicht in jeder Größenordnung ein gut definiertes Konzept. Das ist einer der vielen Gründe, warum wir die Feldbeschreibung nehmen. Die Idee der Summe über Pfade, grob gesagt, wird ersetzt durch die Summe über alle möglichen Feldkonfigurationen, die das/die Teilchen an einem bestimmten Raumzeitpunkt erzeugt. Und nun zurück zum Propagator (der Einfachheit halber gehen wir davon aus $(x_0-y_0)>0$so dass $T(\phi(x)\phi(y))=\phi(x)\phi(y))$): Nehmen wir als Beispiel eine freie skalare Quantenfeldtheorie: $$L=\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$ Da es sich um eine freie Theorie handelt, werden nur einzelne Teilchen zum Propagator beitragen, dann können wir schreiben, indem wir die Identität einfügen $$\mathbb I=\sum|n\rangle\langle n|$$ Wo $|n\rangle$ist ein n-Teilchen-Eigenzustand der vier Impulse $\hat{P}^\mu$Da nun nur noch der Beitrag eines Teilchens zählt, können wir schreiben: $$W(x-y)=\int d^3p\frac{1}{2\omega_p}\langle0|\phi(x)|p\rangle\langle p|\phi(y)|0\rangle$$ das ist entscheidend, denn da wir die Eigenzustände des reellwertigen Vierimpulsoperators verwenden, erfolgt die Summe über alle möglichen Impulszustände über deren reelle Werte! Wir können Translationssymmetrie zum Schreiben verwenden $U(x)\phi(0)U^\dagger(x)=\phi(x)$Wo $$U(x)=e^{iP\centerdot x}$$ So $$W(x-y)=\int d^3p \frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}|\langle0|\phi(0)|p\rangle|^2$$ daraus folgt die Lorentz-Invarianz $|\langle0|\phi(0)|p\rangle|^2=constant=\frac{1}{(2\pi)^{3}}$also haben wir $$W(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}=i\Delta_F(x-y)$$ das ist (für den Fall $(x_0-y_0)>0$) der übliche Feynman-Propagator. Wie Sie in dieser (kurzen) Herleitung sehen können, wurde kein imaginärer Impuls verwendet, da nicht einmal die Quantenmechanik die Existenz imaginärer beobachtbarer Größen fordert. Jetzt werde ich zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen außerhalb des Lichtkegels gefunden wird, nicht Null ist, aber diese Tatsache impliziert weder die Existenz eines imaginären Impulses (wie ich hoffe, dass ich bereits klargestellt habe) noch die Tatsache, dass so etwas beobachtet werden kann, geschweige denn wir beginnen:

In Betracht ziehen$\Delta_F(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}$bei der Distanz$|x-y|$um raumartig zu sein, wird es einen Rahmen geben, in dem$x_0=y_0$Und$\vec{x}-\vec{y}=\vec{r}$deshalb werden wir haben

$$\Delta_F(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{i \vec{p}\centerdot\vec{r}}=\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} dpd{\phi}\frac{p^2 \sin(\phi)}{2\omega_p}e^{i pr\cos(\phi) }$$ jetzt das Integral $$\int_{0}^{\pi} d{\phi} \sin(\phi) e^{i pr\cos(\phi) } =2 \frac{sin(pr)}{pr}$$ so werden wir schreiben $$\Delta_F(x-y)=\frac{-i}{(2\pi)^2} \int_{0}^{\infty} \frac{p^2}{2 \omega_P} \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{pr}=\frac{-i}{2(2\pi)^2r} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{p}{\sqrt{p^2+m^2}} e^{ipr}$$ wir haben gerade die beiden Integrale mit zusammengefügt $e^{ipr}-e^{-ipr}$nur indem man in der zweiten die Substitution durchführt $p \rightarrow -p$. Um nun ein solches Integral zu bewerten, werden wir komplexe Analysemethoden verwenden, es ist wichtig zu verstehen, dass dies nur ein Zwischenschritt ist, nach dem wir eine Grenze setzen, um in den realen Impulsraum zurückzukehren! Es ist oder sollte keine physikalische Interpretation eines solchen technischen Schrittes durchgeführt werden, es ist nur eine einfache Möglichkeit, die Integration zu berechnen. Da es eine ziemlich langweilige Operation ist, werde ich Ihnen sagen, was gefunden wird: $$\Delta_F(r)\sim e^{-mr}$$ Außerhalb des Lichtkegels ist die Ausbreitungsamplitude zwar verschwindend, aber nicht Null, dennoch bleibt die Kausalität erhalten, da keine beobachtbare Größe über solche Phänomene in Beziehung gesetzt werden kann. (das ist einer der Hauptgründe für die theoretische Vorhersage der Existenz von Antimaterie!). Als letzte Anmerkung möchte ich auch betonen, dass die vertraute Beziehung $$P^\mu=\left(mc\gamma,mv\gamma\right)$$ was Ihnen einen imaginären Impuls geben würde, wenn $v=nc$mit $n>1$von Off-Shell-Partikeln nicht respektiert wird, die eine beliebige Energie haben, die nicht mit der üblichen klassischen speziellen relativistischen Dispersionsbeziehung in Beziehung steht, wäre ein Partikel, das (im begrenzten Sinne der Quantenmechanik) einem FTL-Pfad "folgt", nicht beobachtbar. Ich hoffe, das deckt ein wenig die Punkte Ihrer Frage ab!

Wie sich herausstellt, könnte Ihre Intuition auf dem richtigen Weg sein. Wie kürzlich von Physikern des Kalibers von Arkani Hamed und Freddy Cachazo festgestellt und veröffentlicht wurde, können Sie die Mühe vermeiden, Ihre Feynmann-Integrale außerhalb der Schale zu berechnen, indem Sie die Scheitelpunkte durch Teilchen auf der Schale mit komplexen Impulsen und Koordinaten ersetzen . Es gibt eine Vermutung, dass dieser Ersatz physisch allen Bestellungen entspricht, aber meines Wissens gibt es noch keinen Beweis.

Dies ist natürlich ein Berechnungswerkzeug, und Sie könnten gut daran tun, der Interpretation der komplexen Ausdehnung der Raumzeit, über die diese Integrale gehen, nicht zu viel Gewicht zu geben. Die aktuelle Interpretation ist, dass die komplexe Erweiterung ein Symptom für die Äquivalenz zwischen Off-Shell-Integralen und Raumzeit-Nichtlokalität ist