Quantenfelder als Differentialoperatoren

Nun, bei gegebener feldtheoretischer Gleichzeit- CCR

Nicht jeder Operator kann als Differentialform dargestellt werden – Spin ist ein gutes Beispiel.

Der Unterschied zwischen dem Heisenberg- und dem Schrödinger-Formalismus war jedoch nicht der Unterschied zwischen Differentialoperatoren und Matrizen. Schrödinger baute ein konsistentes quantenmechanisches Bild auf der Grundlage der Wellengleichung (die seinen Namen erhielt) – Wellenmechanik , während Heisenberg die Matrizenmechanik baute , wo die Dynamik durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für Operatoren beschrieben wurde. Der Unterschied ist ähnlich dem zwischen den Hamilton-Jacobi-Gleichungen und Poisson-Klammern in der klassischen Mechanik. Die Quantenmechanik bezieht sich immer noch ziemlich getreu auf diese Unterscheidung, indem sie die Begriffe Schrödinger-Bild und Heisenberg-Bild für die Situationen verwendet, in denen die Zeitabhängigkeit von Wellenfunktionen bzw. Operatoren getragen wird.

Ich glaube, ich weiß, was Sie fragen, also werde ich mit einigen groben Ideen antworten, die Ihnen helfen könnten, einen Einblick zu bekommen.

Jeder trennbare Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu einem Raum$L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Wenn ich einen trennbaren Hilbertraum habe$X$, lassen$i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$sei der Isomorphismus. Wenn$A$ist ein Operator auf$X$Dann$A'$ist ein Operator auf$L^2 (\mathbb{R}^n)$Wo$A' = i A i^{-1}$. Dies ergibt eine Entsprechung zwischen Operatoren auf abstrakten Vektoren und Operatoren auf Funktionen.

Der Hauptunterschied zwischen dem Heisenberg- und dem Schrödinger-Bild besteht darin, dass wir in Heisenberg die Operatoren als zeitlich veränderlich betrachten, während im Schrödinger-Bild die Operatoren fest und die Zustände selbst zeitabhängig sind. Mit anderen Worten, im Heisenberg-Bild haben wir einen festen Zustandsraum$X$und wir haben einige Operatoren$A(t)$die darauf wirken. Der$A(t)$ist eine Gruppenrepräsentation in dem Sinne, dass$A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$für eine einheitliche Transformation$U(s)$das hängt glatt an$s$. In der Quantenfeldtheorie bewegen wir uns von einer Dimension der Zeit zu vier Dimensionen der Raumzeit. Daher sollten wir Operatoren als transformieren lassen$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.

Im Schrödinger-Bild stellen wir uns Zustände als zeitabhängig vor. Es gibt also eine gewisse Kurve$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$die Entwicklung des Staates im Laufe der Zeit darstellen. Diese muss sich auch einheitlich damit umwandeln$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Jetzt werden die Operatoren als fest angesehen. Im QFT-Szenario können wir Operatoren immer noch als feststehend behandeln und uns vorstellen, dass die Zustände sowohl räumlich als auch zeitabhängig sind. ich werde schreiben$\psi(x^{\mu})$aber verwechseln Sie dies nicht mit der herkömmlichen Wellenfunktion. Für einen bestimmten Punkt in der Raumzeit gilt$\psi(x^{\mu})$ist selbst ein abstrakter Vektor in einem separierbaren Hilbert-Raum. Oder wir können es äquivalent als Funktion in einem geometrischen Raum betrachten (wie dem Raum der Verschiebungen eines harmonischen Oszillators). Wir haben also eine einheitliche Darstellung U der Lorentzgruppe$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Nun sind Impuls- und Ortsoperatoren feste Operatoren.

Herkömmliche QFT verwendet tatsächlich so etwas wie das oben erwähnte Heisenberg-Bild. Es ist jedoch möglich, es so zu formulieren, dass ein "Feld" als eine Funktion angesehen wird, die Raumzeitpunkte als Eingaben und Funktionen als Ausgaben nimmt. Das ist vielleicht eher ein klassisches Feld. Es ordnet jedem Punkt in der Raumzeit eine Wellenfunktion zu. Dann wirken die Impuls- und Ortsoperatoren an jedem Ort punktweise.