Wie verhält sich Paulis Ausschlussprinzip zu einer Quantenüberlagerung von Zuständen?

Das Pauli-Prinzip besagt, dass der vollständige fermionische Vielteilchenzustand unter Permutation zweier beliebiger Fermionen antisymmetrisch sein muss ( dh ein Minuszeichen annehmen muss). Wenn Sie 2 Fermionen haben, die zwei beliebige Zustände besetzen$\psi$Und$\phi$, dann ist der 2-Fermion-Zustand (bis auf eine Gesamtphase und Normalisierung)

$$\psi(1)\phi(2)-\psi(2)\phi(1)\, .$$ Dies lässt sich auf eine Determinante verallgemeinern, falls Sie dies haben$n$Partikel.

Es gibt keine unendliche Anzahl von Teilchen. In der Regel die Staaten$\phi,\psi$sind orthogonal, daher ist nicht klar, was Sie mit "leicht unterschiedlichen Überlagerungen" meinen. Die Koeffizienten jedes Terms in der Superposition können seitdem nicht kontinuierlich variiert werden

$$a\psi(1)\phi(2)-b\psi(2)\phi(1)$$ ist nur dann vollständig antisymmetrisch, wenn$a=b$.

Beachten Sie, dass die nicht wechselwirkenden Wellenfunktionen einen vollständigen Satz bilden, sodass die „wahre“ Wellenfunktion, die die Wechselwirkungsterme enthält, als lineare Kombination von (möglicherweise sehr vielen) Determinanten ausgedrückt werden kann, von denen jede einzeln vollständig antisymmetrisch ist.

Um den Wechselwirkungsterm einzubeziehen, würde man mit einem Satz einzelner Teilchenzustände beginnen$\psi_m$und konstruieren (bei 2 Teilchen) die antisymmetrischen Kombinationen

$$\begin{align} \psi_{mn}(1,2)=\psi_m(1)\psi_n(2)-\psi_n(1)\psi_m(2) \end{align}$$ Alle antisymmetrischen Zustände sind von dieser Form, so dass ein 2-Fermion-Zustand einschließlich Wechselwirkung von dieser Art wäre $$\begin{align} \psi_k(1,2)=\sum_{m,n} c^k_{m,n}\psi_{mn}(1,2) \end{align}$$ mit dem$c^k_{m,n}$Expansionskoeffizient der Eigenzustandszahl$k$des Hamilton-Operators mit Interaktion am Set$\psi_{mn}(1,2)$von nicht-wechselwirkenden antisymmetrischen Zuständen.

Beachten Sie, dass

$$P_{12}\psi_k(1,2)=\sum_{m,n} c^k_{m,n}P_{12}\psi_{mn}(1,2) =\sum_{m,n} c^k_{m,n}\left(-\psi_{mn}(1,2)\right)=-\psi_k(1,2)$$ nach Bedarf.

Der Raum der Spin-Zustände für ein einzelnes Elektron ist zweidimensional (überspannt, sagen wir mal, durch UP und DOWN in die Richtung, die Sie wählen möchten).

Daher ist (nach einfacher Algebra) der Raum antisymmetrischer Spinzustände für ein Elektronenpaar eindimensional (durch den einzelnen Vektor aufgespannt).$\hbox{UP}|\hbox{DOWN}-\hbox{DOWN}|\hbox{UP}$).

Hier ist die einfache Algebra: Die Zustände$UU$,$DD$Und$UD+DU$sind offensichtlich alle symmetrisch und voneinander linear unabhängig. Damit bleibt höchstens eine Dimension für das orthogonale Komplement der symmetrischen Zustände (nämlich der antisymmetrischen Zustände). Auch$UD-DU$ist eindeutig antisymmetrisch, also erhalten wir mindestens eine Dimension.]

Wenn Sie also den Zustandsraum projektivieren (und die Pauli-Anforderung berücksichtigen, dass der Zustand des Ensembles antisymmetrisch sein muss), gibt es nur einen möglichen Spinzustand für ein Elektronenpaar.

Eine weitere einfache Algebra zeigt, dass der Raum der antisymmetrischen Spinzustände für ein Tripel (oder mehr) von Elektronen nulldimensional ist und überhaupt keine möglichen Zustände übrig bleiben, wenn Sie projektivieren.

Das Ausschlussprinzip von Pauli besagt, dass 2 identische Fermionen nicht denselben Quantenzustand einnehmen können. Wenn wir identische Teilchen haben, sind die Wahrscheinlichkeiten im Wesentlichen unter dem Austausch von Teilchen unveränderlich. Mit anderen Worten, wenn wir 2 Teilchen haben, befindet sich eines im Zustand$|{\phi}\rangle$und ein anderer drin$|{\psi}\rangle$dann können wir nicht zwischen diesem und dem Zustand unterscheiden, in dem sich der erste befindet$|{\psi}\rangle$und der andere rein$|{\phi}\rangle$. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir dies erreichen können:

$$|{\phi}\rangle_1\otimes |{\psi}\rangle_2 \pm |{\psi}\rangle_1\otimes |{\phi}\rangle_2$$

Pauli sagt, dass Fermionen von der negativen Art sind. Und das ist erweiterbar auf viele Teilchen, indem man jeweils zwei Stellen vertauscht und ein negatives Vorzeichen setzt. Dies lässt sich leicht mit der Slater-Determinante anwenden .

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Kommen wir zu Aarons Kommentar, lasst uns darüber nachdenken$N$Teilchen, die sich in leicht unterschiedlichen Richtungen im Up-Eigenzustand befinden.

Lassen Sie die erste Drehung vorbei sein$z$und sagen wir drehen uns um$x$um einen Winkel$-jd\theta$(im Uhrzeigersinn), dann wäre der nächste oben entlang$n(j)$Wo$j$ist eine ganze Zahl. Dann wäre einer der Zustände (Basiszustand).$|n(0)n(1)n(2)...n(N)\rangle$was wir der Einfachheit halber bezeichnen mit:

$$|0123...N\rangle$$ Beachten Sie, dass wir hier ein Stellenwertsystem verwendet haben.

Aber da es sich um Fermionen handelt, müssen wir den Zustand antisymmetrisieren, was wir mit Hilfe einer Schiefer-Determinante tun, die wir symbolisch darstellen durch:$\hat{\mathscr{S}}|0123...N\rangle$

Wenn wir nun unseren Grundzustand in Form von Auf und Ab ausdrücken wollen$z$, dann müssen wir uns zusammenfinden$n(j)$entlang zu gehen$z$. Dies geschieht einfach durch den Rotationsoperator$\mathscr{D}(jd\theta,x)$Einwirken auf$|{\uparrow}\rangle$:

$$\mathscr{D}(jd\theta,x)|{\uparrow}\rangle = \cos{\left(\frac{jd\theta}{2}\right)}|{\uparrow}\rangle+ \sin{\left(\frac{jd\theta}{2}\right)} |{\downarrow}\rangle$$

Diese Darstellung ist jedoch insofern kompliziert, als wir beim Austausch eines bestimmten Teilchens sicherstellen müssen, dass sich sowohl die entsprechenden Höhen als auch die Tiefen ändern.