Was sagt das Pauli-Ausschlussprinzip über eine Überlagerung von Spinzuständen aus?

Angenommen, wir haben ein Atom. Es wird allgemein gesagt, dass aufgrund des PEP zwei Elektronen nicht im Grundzustand sein können, es sei denn, sie haben entgegengesetzte Spins, weil keine zwei Elektronen die gleiche Wellenfunktion haben können.

Was mich stört, ist, dass Spin-Up und Spin-Down nicht die einzig möglichen Spin-Zustände sind. Es gibt ein ganzes Kontinuum linearer Kombinationen von ihnen, und soweit ich das beurteilen kann, würde das PEP die Möglichkeit nicht ausschließen, dass viele Elektronen vorhanden sind, die alle dieselbe räumliche Wellenfunktion teilen, jedoch mit unterschiedlichen Kombinationen ∣ ↑ ⟩ Und ∣ ↓ ⟩ . Warum passiert das nicht?

Antworten (3)

Der allgemeine Ein-Teilchen-Spin-Zustand für ein Spin-1/2-Teilchen ist

| ψ ⟩ = A ∣↑ ⟩ + B ∣↓ ⟩
mit | A | 2 + | B | 2 = 1 . Lassen Sie uns also versuchen, zwei davon zu antisymmetrisieren.
Alt ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 2 ) = ( A 1 ∣↑ ⟩ + B 1 ∣↓ ⟩ ) ⊗ ( A 2 ∣↑ ⟩ + B 2 ∣↓ ⟩ ) − ( A 2 ∣↑ ⟩ + B 2 ∣↓ ⟩ ) ⊗ ( A 1 ∣↑ ⟩ + B 1 ∣↓ ⟩ ) = ( A 1 A 2 − A 1 A 2 ) ∣↑ ⟩ ∣↑ ⟩ + ( B 1 B 2 − B 2 B 1 ) ∣↓ ⟩ ∣↓ ⟩ + ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ∣↑ ⟩ ∣↓ ⟩ + ( B 1 A 2 − B 2 A 1 ) ∣↓ ⟩ ∣↑ ⟩ = ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ( ∣↑↓ ⟩ − ∣↓↑ ⟩ )
Egal, mit welchem ​​Ein-Teilchen-Zustand Sie beginnen, Sie enden mit etwas, zu dem es proportional ist ∣ ↑↓ ⟩ − ∣↓↑ ⟩ .

Abstrakter, wenn v 1 , v 2 , … , v N sind eine Basis für einen Vektorraum v , eine Basis der antisymmetrischen Rang-2-Tensoren auf v wird von gegeben

v ich ⊗ v J − v J ⊗ v ich 1 ≤ ich < J ≤ N .
In dem Fall, dass N = 2 , reduziert sich dies auf das vorherige Ergebnis.

Sollte das sein Alt ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 2 ) statt Alt ⁡ ( | ψ ⟩ 1 ⊗ | ψ ⟩ 1 ) in der ersten Zeile?
Außerdem glaube ich, dass der letzte Begriff in der gleichen Zeile stehen sollte B 1 ? Edit: Macht nichts, dass es gut aussieht.
Du hast Recht. Ich habe eine Bearbeitung vorgenommen.
Ich folge der Mathematik, aber ich bin mir nicht sicher, was die Folgen davon sind. Könntest du etwas erweitern?
@JavierBadia Die Konsequenz ist, dass Sie keinen bestimmten Satz von Eigenwerten (z. B. "oben" und "unten") vorbereitet haben müssen, damit die Besetzungsgrenze (2 Elektronen) gilt. Dies ist der PEP, der unabhängig davon gilt, welche Spiele Sie mit den Elektronenspins zu spielen versuchen, da die kombinierte Wellenfunktion "weiß", wie viele zulässig sind (in weniger anthropophischer Sprache gehen Ihnen die Freiheitsgrade aus, die Sie bei der Antisymmetrierung verwenden können). .
Ich glaube, ich sehe es, aber ich muss eine Weile darüber nachdenken. Danke aber für die Antwort!

Das Pauli-Ausschluss-Prinzip besagt, dass sich zwei Elektronen nicht im gleichen Quantenzustand befinden können. Was man berücksichtigen muss ist, dass | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ sind bereits eine Basis des Spin-Teils des Hilbert-Raums. Dies ist zB nicht vergleichbar mit der z-Richtung eines dreidimensionalen Raums, wo die x- und y-Komponenten unabhängig sind. Wenn Sie einen Quantenzustand haben ψ ( R → ) seine räumliche Komponente ϕ ( R → ) hängt von der Basis des Spinraums ab, den Sie wählen, dh Sie bestimmen anhand des Spinzustands eine Richtung im Raum, die sich in der räumlichen Komponente Ihres Quantenzustands widerspiegelt.

Wie Sie sagten, bestehen Spin-Zustände aus linearen Kombinationen von Spin-Up und Spin-Down. Ein Elektron kann entweder oben oder unten sein. Sie können zum Beispiel kein Elektron haben, das einen Spin von Viertel nach oben oder Viertel nach unten hat. Ein Elektron ist zu jeder Zeit entweder oben oder unten. Aus diesem Grund können nicht mehr als 2 Elektronen denselben Spinzustand haben. Stellen Sie sich das so vor: Wenn zwei Elektronen den gleichen räumlichen Zustand haben, dann ist eines von ihnen Spin-up und das andere Spin-down. Die Spin-Überlagerung, über die Sie verwirrt sind, sagt Ihnen nur, dass die Elektronen nicht immer Spin-up und Spin-down haben, sondern mit ihren Spinzuständen verbundene Wahrscheinlichkeiten haben.

Zum Beispiel ein Spin-Zustand 1 2 ∣↑ ⟩ + 1 2 ∣↓ ⟩ sagt Ihnen, dass das Elektron 50% der Zeit nach oben und 50% der Zeit nach unten gedreht wird. Dann kann das andere Elektron nur im anderen Zustand sein, um das Pauli-Ausschlussprinzip zu erfüllen.

„Man kann zum Beispiel kein Elektron haben, das einen Spin von Viertel nach oben oder Viertel nach unten hat. Ein Elektron ist zu jeder Zeit entweder oben oder unten.“ Dies ist im QM eklatant falsch. Ein Elektron, das in Bezug auf den Spin-up ist z -Achse befindet sich in einer Überlagerung von Spin nach oben und unten in Bezug auf jede andere Achse.
Die Überlagerung impliziert nur Wahrscheinlichkeiten für oben und unten, Sie können den Spin nicht einfach in Komponenten zerlegen, wie Sie es in der klassischen Mechanik tun. Ich habe das Gefühl, wir sagen hier dasselbe.
@PhotonicBoom In einer Überlagerung zu sein bedeutet, sich in keinem der Eigenzustände zu befinden. Die implizierten Wahrscheinlichkeiten kommen nur zum Tragen, wenn Sie die z-Achsen-Komponente des Spins messen. In der Zwischenzeit befindet es sich in keinem der beiden Zustände entlang der z-Achse. Die Aussage, gegen die Robin Einwände erhebt, ist für sich genommen nicht korrekt, und die vollständige Antwort erfordert, dass Sie die Wellenfunktion antisymmetrisieren, um zu zeigen, dass die Besetzungsgrenze nicht von der von Ihnen gewählten Spinachse abhängt.
Ich verstehe jetzt, was du meinst. Ich bezog mich auf Messergebnisse, aber wie ich jetzt verstehe, ist dies immer noch nicht das vollständige Bild.
Was sagt das Pauli-Ausschlussprinzip über eine Überlagerung von Spinzuständen aus?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v