Besetzung von Quantenzuständen bei Raumtemperatur

Stellen wir uns das Problem so vor ... es ist ein bisschen grob, sollte Ihnen aber eine Vorstellung geben:

Wir wissen, dass die Energieniveaus eines Teilchens in einer 1D-Box der Länge sind$L$sind durch die Formel gegeben

$$E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2$$

Wo$n=1,2,3,\dots$. Wir wissen auch, dass die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens$\langle E\rangle$hängt mit der Temperatur durch die Beziehung zusammen

$$\langle E \rangle = \frac 3 2 k_B T$$

Nehmen wir an, dass die maximale kinetische Energie für ein Teilchen bei Temperatur$T$ist etwas in der Größenordnung von$2 \langle E \rangle =3 k_B T$(Die tatsächliche Anzahl ist nicht wichtig, da wir nach einer groben Schätzung suchen).

Die Frage ist also: Wie viele Energieniveaus sind möglich, wenn die maximale Energie ist$3 k_B T$?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die folgende Gleichung aufstellen

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2 = 3 k_B T$$

und löse nach$n$:

$$n = \sqrt{\frac{6 k_B T m L^2}{\pi^2 \hbar^2}}$$

Setzen wir einige Zahlen in diese Formel ein:

• $T=300$K ($\simeq$Umgebungstemperatur)
• $L=1$cm
• $m = 10^{-27}$kg ($\simeq$Masse des Wasserstoffs)

Wir erhalten

$$n \simeq 10^8$$

Unser Teilchen wird natürlich nur eines davon besetzen$10^8$möglichen Energieniveaus. Ich weiß, ist es nicht$10^7$, aber wir kamen ziemlich nah dran!

Wenn wir haben$N$Unabhängige Teilchen (wie in einem idealen Gas), wird der gesamte Hamiltonian trennbar sein und seine Eigenwerte werden die Summe der Eigenwerte der Einzelteilchen-Hamiltonianer sein, so dass das obige Argument nicht viel ändern wird. Selbst wenn wir eine 3D-Box betrachten, wird sich nicht viel ändern, da die Energieniveaus sein werden

$$E_{n_x n_y n_z} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} (n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

und das grobe Argument, das ich oben gegeben habe, wird mehr oder weniger dasselbe bleiben. Eigentlich kann ich es expliziter sagen: die Eigenwerte für$N$nicht wechselwirkende Partikel in einer 3D-Box sind

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}\sum_{i=1}^N (n_{x,i}^2+n_{y,i}^2+n_{z,i}^2)$$

Ich überlasse es Ihnen zu zeigen, dass wir für die Anzahl der Energieniveaus mehr oder weniger das gleiche Ergebnis erhalten.

Die Fermi-Dirac-Verteilung für ein Teilchen in der$n_i$Zustand mit Energie$E_i$Und$\mu$das chemische Potential gleich der Fermi-Energie als$T~\rightarrow~0$Ist

$$\bar n_i = \frac{1}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1}$$ Für die Temperatur $T~>>~0$Dann $\beta~=~1/kT$ist klein und für $E_i$nicht groß wir haben $(E_i-\mu)\beta << 0$. Das bedeutet, dass $e^{(E_i-\mu)\beta}~\rightarrow~1$. Schreiben Sie dies nun als $$\bar n_i = \frac{e^{-(E_i-\mu)\beta}}{(1 + e^{-(E_i-\mu)\beta}}).$$ Der Begriff $e^x = 1 + x + x^2/2 + \dots$für $x = {-(E_i-\mu)\beta}$, die wir linear so dass $$\bar n_i \simeq e^{-(E_i-\mu)\beta}\left(1 - (E_i-\mu)\beta\right),$$ wo Binomialsatz verwendet wurde. Dies führt zur ungefähren Boltzmann-Verteilung.

Für eine Zustandsdichte die Anzahl der Zustände pro Energiebereich pro Volumeneinheit$g(E)$, die Berufszahl wird berechnet als

$$N(E) = \frac{g(E)}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1}$$