Das invariante Maß auf einer Energiefläche eines Hamilton-Systems

Sie haben Recht, dass der Satz von Liouville etwas über die Invarianz des Maßes aussagt$\Pi dq dp$, es sagt nichts direkt über ein invariantes Maß auf der durch gegebenen Hyperfläche aus$E=H(p,q)$.

In seinem ausgezeichneten Buch Mathematical Foundations of Statistical Mechanics zeigt Khinchin (Abschnitt 7), dass es tatsächlich ein invariantes Maß auf dieser Hyperfläche gibt. Dieses unveränderliche Maß$\mu$wird gegeben von:

$$\begin{equation} \mu(M) = \int_M \frac{ds}{|\nabla H|}, \end{equation}$$

für einen Satz$M$, wo$ds$ist ein Volumenelement in dieser Hyperfläche. Wie hier grob gesagt,$1/|\nabla H|$beschreibt die Dicke der Energiehyperfläche an diesem Punkt.

Hinzugefügt: Und hier ist ein weiterer Thread zu diesem Thema.

Wie Menachem sagte,

$$\begin{equation} \mu(M) = \int_M \frac{ds}{|\nabla H|}, \end{equation}$$ ist eine gute Antwort.

Jetzt möchte ich eine abstraktere Antwort geben$\mu_E$mit Flächenelement$d\sigma$das wird weiter unten beschrieben.

Betrachten Sie N Teilchen mit Phasenraummaß$d\tau=dq_1...dq_N dp_1...dp_N$

Lassen$d\sigma$ein Maß für die Energiefläche sein, so dass$d\sigma dE=d\tau$. Rufen Sie die Maßnahme auf$\mu_E$, so$\mu_E(V)=\int_{V\cap \Sigma_E} d\sigma$. Hier,$\Sigma_E$die Energiefläche und V ein beliebiges Phasenraumvolumen ist. Wir können dann beweisen, dass ein solches Oberflächenmaß Hamilton-Fluss-invariant ist.

Lassen$\phi_t()$sei der Hamiltonsche Fluss (d. h. eine zeitliche Entwicklung des Anfangszustands).$\tau_0$ist$\phi_t(\tau_0)$). Nach dem Satz von Liouvill gilt:$d\tau$ist hamiltonsch-flussinvariant.

$$\int_V d\tau =\int_{\phi_t(V)} d\tau$$

Jetzt schneiden$V$dazwischen sein$E$und$E+\Delta E$und behalte nur die Schale.

$$\int_{E}^{E+\Delta E} \int_{V \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma = \int_{E}^{E+\Delta E} \int_{\phi_t(V) \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma$$

Dies gilt für alle$E$und$\Delta E$die wir wählen (wegen Energieerhaltung). Jetzt ersetzen wir die Definition von$\mu_E(V)$und$\mu_E(\phi_t(V))$

$$\int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(V) = \int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(\phi_t(V))$$

Da dies für alle gilt$E$und$\Delta E$, teilen wir beide Seiten durch$1/\Delta E$, E fixieren, dann nehmen$\Delta E$Null annähern. Wir bekommen

$$\mu_{E}(V)=\mu_E(\phi_t(V))$$ Die obige Ableitung zeigt, ob wir a konstruieren können $d\sigma$so dass $d\sigma dE=d\tau$, dann ist die Konstruktion flussinvariant.

Jetzt zeigen wir das Maß, das Menachem schrieb,$(ds/ |\nabla H| )$, befriedigt$(ds/ |\nabla H|) \ dE= d\tau$. Seit$ds\ dh=d\tau$, wo$dh$die Höhe des Volumenelements im Phasenraum ist, wollen wir zeigen$dh=dE/ |\nabla H|$oder$dh |\nabla H|=dE$, und das ist fast die Definition von Derivat. (Wenn wir bedenken$\vec{dh}$als Vektor im Phasenraum senkrecht zur Energiefläche, dann$dE=\vec{\nabla} H \cdot \vec{dh}=|\nabla H| dh$)

In Vorwärtsrichtung,$dh |\nabla H|=dE$->$dE/|\nabla H|=dh$->$dE/|\nabla H|\ ds=dh\ ds=d\tau$->$(ds/|\nabla H|)\ dE=d\tau$. Durch die vorherige Herleitung$ds/|\nabla H|$ergibt ein flussinvariantes Maß.

Das Liouville-Maß ist im Grunde das Volumen eines winzigen volldimensionalen Bereichs im Phasenraum. Wenn man Ort und Impuls jedes Teilchens genau kennt , wird der Zustand des Systems durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben, und der Satz von Liouville wird trivial, denn offensichtlich ist ein Punkt immer nulldimensional, egal wie man ihn bewegt. Es ist wahr, dass die Flugbahn des Punktes auf eine Hyperfläche mit konstantem H beschränkt ist (wenn der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt), aber es gibt kein interessantes „Maß“, das beibehalten werden muss.

Der Satz von Liouville wird nützlich, wenn Sie ein statistisches Ensemble von Systemen haben, oder, prosaischer, wenn die Positionen und Impulse eine gewisse Unsicherheit aufweisen. Betrachten Sie zum Beispiel das Ensemble von Ein-Teilchen-Systemen, bei denen Ort und Impuls zunächst gleichmäßig über die Intervalle verteilt sind$(x, p) \in [x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon] \times [p_0 - \delta, p_0 + \delta]$, für einige kleine$\epsilon$und$\delta$. Dann wird das Ensemble durch an beschrieben$\epsilon \times \delta$Rechteck im Phasenraum, und die Fläche dieses Bereichs wird sich im Laufe der Zeit verzerren, aber seine Fläche$\epsilon \delta$wird konstant bleiben. Eine solche Gesamtheit wird sich generisch über einen endlichen Bereich von Werten erstrecken$H$des Hamiltonian. Im Ensemble-Kontext, in dem der Satz von Liouville nützlich ist, ist "das System" also nicht auf eine einzige Hyperfläche beschränkt.

In einem gegebenen Koordinatensystem im Phasenraum können Sie eine Hyperfläche mit Kodimension 1 definieren$A(E)$durch den Schnittpunkt des Volumens des Ensemblesystems und der Hyperfläche mit Energie$E$, und der Satz von Liouville garantiert die Erhaltung des Volumens$\int_{-\infty}^\infty A(E)\, dE$. Aber ich bin mir nicht sicher, ob die Funktion$A(E)$selbst bleibt erhalten, da es, wie Sie vorschlagen, nicht offensichtlich ist, dass dieses Maß für die Hyperoberflächenfläche so definiert werden kann, dass es unter kanonischen Transformationen invariant bleibt.