Einführung

Lassen Sie uns die Dichte von Partikeln von Arten definieren$s$in einem Volumenelement,$d\mathbf{x} \ d\mathbf{v}$, zu einer festen Zeit,$t$, zentriert bei$(\mathbf{x}, \mathbf{v})$als Menge$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{v},t)$. Ich gehe davon aus, dass diese Funktion nicht negativ ist, eine endliche Menge an Materie enthält und im Raum positiver Zeiten und existiert$\mathbb{R}^{3}$Und$\mathbb{R}_{\mathbf{v}}^{3}$, Wo$\mathbb{R}_{\mathbf{v}}^{3}$ist der Raum aller möglichen 3-Vektor-Geschwindigkeiten. Dann sieht man, dass es zwei Möglichkeiten der Interpretation gibt$f$: (1) es kann eine Annäherung an die wahre Phasenraumdichte eines Gases sein (großer Maßstab im Vergleich zu Trennungen zwischen Teilchen); oder (2) es kann unsere Unkenntnis der wahren Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen im System widerspiegeln. Die erste Interpretation ist deterministisch, während die zweite probabilistisch ist. Letzteres wurde von Boltzmann implizit verwendet. Nehmen wir das an$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{v},t)$ $\rightarrow$ $\langle f \rangle + \delta f$, Wo$\langle f \rangle$ist ein Ensemble-Durchschnitt von$f_{s}$und ich habe das Abonnement aus Faulheit fallen gelassen.

Liouvilles Gleichung

ich weiß, dass$\langle f \rangle$erfüllt die Liouville-Gleichung , oder besser gesagt,$\partial \langle f \rangle$/$\partial t = 0$. Allgemein lautet die Bewegungsgleichung:

$$\begin{equation} \frac{ \partial f }{ \partial t } = f \left[ \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{q} } \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \right) + \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{p} } \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \right) \right] + \left[ \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{q} } + \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{p} } \right] \tag{1} \end{equation}$$ wobei ich den kanonischen Phasenraum von definiert habe $(\mathbf{q}, \mathbf{p})$. Vereinfache ich die Begriffe dA/dt zu $\dot{A}$und lass $\boldsymbol{\Gamma} = (\mathbf{q}, \mathbf{p})$, dann finde ich: $$\begin{align} \frac{ \partial f }{ \partial t } & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} - \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{2a} \\ & = - \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \left( \dot{\boldsymbol{\Gamma}} f \right) \tag{2b} \end{align}$$ wo man sehen kann, dass die letzte Form wie die Kontinuitätsgleichung aussieht. Wenn ich die Gesamtzeitableitung definiere als: $$\begin{equation} \frac{ d }{ dt } = \frac{ \partial }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{3} \end{equation}$$ dann kann ich zeigen, dass die zeitliche Änderungsrate der Verteilungsfunktion gegeben ist durch: $$\begin{align} \frac{ d f }{ dt } & = \frac{ \partial f }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{4a} \\ & = - \left[ f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \right] + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{4b} \\ & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \tag{4c} \\ & \equiv - f \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{4d} \end{align}$$ Wo $\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right)$wird Phasenraumkompressionsfaktor genannt . Beachten Sie, dass die Gleichungen 4a bis 4d verschiedene Formen der Liouville-Gleichung sind, die ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen erhalten wurden und nicht die Existenz eines Hamilton-Operators erfordern . Ich kann Gleichung 4d in der folgenden Form umschreiben: $$\begin{equation} \frac{ d }{ dt } \ln \lvert f \rvert = - \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{5} \end{equation}$$

Beziehung zum Hamiltonian

Die meisten Leser erkennen die Gleichungen 4d und 5 möglicherweise nicht als Liouville-Gleichung, weil man sie normalerweise von einem Hamilton-Operator ableitet. Wenn die Bewegungsgleichungen aus einem Hamilton-Operator generiert werden können, dann$\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$, selbst in Gegenwart externer Felder, die das System aus dem Gleichgewicht bringen. Beachten Sie, dass die Existenz eines Hamiltonoperators eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung dafür ist$\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$. Für den inkompressiblen Phasenraum stelle ich die einfache Form der Liouville-Gleichung wieder her:

$$\begin{equation} \frac{ d f }{ dt } = 0 \end{equation}$$ Der Satz von Liouville kann jedoch durch Folgendes verletzt werden:

• Quellen oder Senken von Partikeln;
• Vorhandensein von kollidierenden, dissipativen oder anderen verursachenden Kräften$\nabla{\scriptstyle_{ \mathbf{v} }} \cdot \mathbf{F} \neq 0$;
• Grenzen, die zum Einfangen oder Ausschließen von Partikeln führen, sodass nur Teile einer Verteilung von einem Punkt zum anderen abgebildet werden können;
• räumliche Inhomogenitäten, die zu einer Geschwindigkeitsfilterung führen (z. B.$\mathbf{E} \times \mathbf{B}$- Drifts, die verhindern, dass Partikel mit geringerer Geschwindigkeit den Ort erreichen, den sie erreicht hätten, wenn sie nicht gedriftet wären); Und
• zeitliche Variabilität an der Quelle oder anderswo, was zu einer nicht gleichzeitigen Beobachtung von entgegengesetzt gerichteten Trajektorien führt.

Quelle der Irreversibilität

Irreversibilität ist ein gewisses Rätsel, da sie größtenteils aufgrund unserer Wahl von Randbedingungen, Glättungsannahmen (z. B. Grobkörnung oder Mean-Field-Theorie ) und Grenzen entsteht. Wenn ich zum Beispiel annehme, dass eine Geschwindigkeitsverteilung von Partikeln durch eine kontinuierliche Modellfunktion dargestellt werden kann , fügt die Verwendung einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion Irreversibilität in die Gleichung ein. Man kann argumentieren, dass dies Haarspalterei ist , weil es offensichtlich ist, dass Irreversibilität in der Natur existiert. Ich denke jedoch, dass es wichtig ist, weil Ihre Frage auf ein tieferes Problem hinweist.

Wenn ich vollkommen elastische binäre Teilchenkollisionen annehme und Quantenunsicherheiten vernachlässige, könnte man im Prinzip die Bahnen aller Teilchen in einem System vorwärts und rückwärts in der Zeit verfolgen. In diesem Modell gäbe es keine Irreversibilität, wenn ich genügend starke Computer hätte. Kollisionen binärer Teilchen sind jedoch nicht wirklich elastisch, sodass unsere Annahme der Elastizität zu einem Informationsverlust geführt hat.

Ein weiterer subtiler Punkt ist, dass Boltzmann seinen inzwischen berühmten H-Satz a priori so definierte, dass die Zeit in die richtige Richtung (dh positive Zeit) zunehmen würde. Er hat den H-Satz ursprünglich nicht auf die Entropie bezogen , diese Interpretation kam später (ich glaube mit Gibbs , aber jemand korrigiert mich, wenn ich hier falsch liege).

Der Punkt ist, dass die Konzepte der Irreversibilität und der Entropie gekoppelt sind, aber nicht unbedingt durch direkte Mittel. Ich neige zu der Annahme, dass die Irreversibilität, auf die Sie sich beziehen, aus unseren Methoden zur Lösung der Mathematik resultiert, die für die Modellierung dynamischer statistischer Systeme erforderlich ist.

Verweise

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Was ähnlich aussieht wie oben, wenn wir die Dichte im Phasenraum und die Verteilungsfunktion als gleich betrachten (was ich denke?)

Sie sind im Allgemeinen nicht gleich. Die Hamiltonsche und die kinetische Beschreibung (Gleichungen) sind grundlegend verschieden – die kinetische Beschreibung ist eine ungefähre Beschreibung des Hamiltonschen Systems und führt irreversible Evolution ein, etwas, das in der Hamiltonschen Beschreibung nicht vorhanden ist.

Darüber hinaus ist der Raum in der kinetischen Beschreibung selbst für ein Vielteilchensystem 6-dimensional; aber für$N$Teilchen, Hamiltonsche Beschreibung im Phasenraum verwendet$6N$-dimensionaler Phasenraum. Für$N=2,3,...$das ist eine andere Beschreibung als die Beschreibung in$6$-dimensionaler Raum.

Das Hamiltonsche System folgt dem Satz von Liouville in$6N$-dimensionalen Phasenraum und kann immer noch ungefähr der kinetischen Gleichung im 6-dimensionalen Raum gehorchen.

Bei Einbeziehung eines Stoßterms kann sich das Phasenraumvolumen ändern . Wenn wir den Kollisionsterm als bezeichnen

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{col}\equiv G-L$$ Dann der Verstärkungsterm, $G$, beschreibt, wie der Anteil der Partikel in der Zelle $dxdv$des Phasenraums (d. h. $f\,dxdv$) erhöht sich aufgrund der Kollisionen anderer Teilchen in verschiedenen Zellen. Ähnlich, $L$beschreibt den Mengenverlust $f\,dxdv$aufgrund eines Partikels in $dxdv$kollidieren (und daher verschwinden) von dieser Zelle.

Die fehlende Reversibilität führt in diesem Fall dazu, dass Sie den Hamilton-Operator nicht verwenden können. Die Kollisions-Boltzmann-Gleichung ist nicht umkehrbar, da die Prozesse von Kollisionen stochastisch sind . Ich glaube, dass es aktive Forschung zu Halbkollisionsgrenzen gibt, aber ich bin mit diesem Teilgebiet nicht ganz vertraut.