Wird die Temperatur eines idealen Gases in einem Gravitationsfeld in größerer Höhe niedriger sein?

Ich weiß, dass es ähnliche Fragen gibt, aber ich habe einige Argumente, die zu erklären scheinen, dass die Temperatur eines idealen Gases in einem Gravitationsfeld in größeren Höhen niedriger sein wird. Ich gehe davon aus:

1. Moleküle des Gases haben Punktgröße.

2.Sie interagieren nur während einer Kollision.

3.Alle Kollisionen sind elastisch.

4.Kollisionszeit ist vernachlässigbar klein.

Bei einem elastischen Stoß zweier gleicher Massen, sagen wir A & B, werden die Geschwindigkeiten von A und B gerade ausgetauscht. Wenn A und B Moleküle desselben Gases sind, dann wären sie in ihrem Aussehen nicht zu unterscheiden. Selbst wenn sie ihre Geschwindigkeiten austauschen würden, könnte man aufgrund ihrer Ununterscheidbarkeit und ihrer Nullgröße sagen, dass Teilchen direkt durcheinander gegangen sind, weil es in Wirklichkeit keine Bezeichnung A oder B auf Molekülen gibt. Man kann nicht unterscheiden, ob sie elastisch kollidierten oder unbeeinflusst durcheinander liefen.

In einem Klumpen idealen Gases in einer Kiste aus starren Wänden ist es, als würde sich jedes Molekül frei bewegen, als wäre es allein in der Kiste. Wenn ich also jedes Molekül isoliert behandle, könnte ich behaupten, dass es langsamer wird, wenn es sich nach oben bewegt (gegen das Gravitationsfeld), und dies gilt für alle Moleküle in dieser Box. Daher ist die durchschnittliche kinetische Energie in höheren Lagen geringer als die in niedrigeren Lagen und daher ist die Temperatur in höheren Lagen geringer. Also liege ich falsch mit dieser Schlussfolgerung? Oder sind meine Annahmen zu unpraktisch?

Sie scheinen zu vergessen, dass in jedem Bereich, in dem die Temperatur gemessen wird, für jedes Molekül, das sich nach oben bewegt und um einen bestimmten Betrag verlangsamt, statistisch gesehen eines nach unten wandert und um den gleichen Betrag beschleunigt.
@D.Ennis Wir messen die Durchschnittsgeschwindigkeit, keine Beschleunigungen. In einer Region suche ich also nur nach Geschwindigkeiten, egal wie ihre Änderung ist.
Ich fürchte, dass ich Ihrem Einwand gegen meinen Kommentar nicht folgen kann.
@D.Ennis Was ich meinte war, wenn ich die Temperatur als Funktion der Höhe abbilde, sind Moleküle in größerer Höhe langsamer als die in niedrigeren Höhen. Jedes Molekül, das sich auf einer gewissen Höhe befindet, ist im Vergleich zu sich selbst langsamer, wenn es ganz unten wäre.
@D.Ennis Ah, ich denke, das Problem könnte darin liegen, dass ich ein Molekül zu einem anderen Zeitpunkt mit sich selbst vergleiche. Was sagen Sie?

Antworten (2)

Ja , die Temperatur eines Gases (entweder real oder ideal) ist am oberen Rand eines Behälters niedriger. Ein einfaches Beispiel ist die Erdatmosphäre, die oben kälter ist als unten.

Es gibt einen offensichtlichen Vorbehalt: Wenn das Gas mit seinem Behälter im thermischen Gleichgewicht ist, zB weil der Behälter ziemlich klein oder der Druck ziemlich hoch ist, dann kann es natürlich keinen Temperaturgradienten geben.

Der Grund, warum die Temperatur mit der Höhe variiert, ist nicht ganz das, was Sie sich ausgedacht haben. Ich denke, Ihr Argument ist innerhalb Ihrer Definition eines idealen Gases gültig : Die Partikel, die in Ihrer Box hoch aufsteigen, haben eindeutig weniger kinetische Energie als am Boden, sodass ihre Temperatur verringert wird. (Es hilft Ihrer Veranschaulichung, sich vorzustellen, dass die Kiste 10 Meilen hoch und 10 Fuß breit ist.) Aber in den üblichen Definitionen sind ideale Gasmoleküle kleine harte Kugeln, sodass ihre Kollisionen eine Streuung induzieren, die ihre Geschwindigkeiten und Richtungen durcheinander bringt. Ich denke, der Effekt dieser Streuung wäre, dass die kinetische Energie, die ein einzelnes Teilchen durch das Aufsteigen in der Box "verloren" hat, durch Kollisionen mit anderen Teilchen, die von unten oder oben gestreut werden, zurückerstattet wird.

Um zu zeigen, dass die Temperatur eines Gases mit zunehmender Höhe abnimmt, reproduziere ich eine vereinfachte Version des Arguments in Übung 2042 aus Doron Cohens Online-Stat-Mech-Notizen .

Stellen Sie sich eine Kiste mit festem Volumen in einem Gravitationsfeld vor, die ein ideales Gas enthält, das sich nicht im thermischen Gleichgewicht befindet. Eine beliebig dünne "Gasschicht" am Boden der Box steht unter Druck P 0 , Zahlendichte N 0 , und Temperatur T 0 , mit P 0 = N 0 T 0 (der Einfachheit halber wird die Gaskonstante weggelassen). Wenn ein Gas aufsteigt (oder fällt), verrichtet es adiabatische Arbeit an seiner Umgebung, wodurch sich der Energiegehalt des aufsteigenden (oder fallenden) Gases ändert. Daher bei jeder "Schicht" in der Höhe H wir haben

P ( H ) = C N ( H ) γ
wo die Konstante ist C = T 0 N 0 1 − γ Und γ ist eine weitere Konstante, der sogenannte adiabatische Index .

Der Druck muss sich kontinuierlich nach oben in der Box ändern, was zu der Bedingung führt

D P ( H ) = − M G N ( H )   D H
Wo M ist die Masse des Teilchens und G ist die lokale Erdbeschleunigung.

Wir haben P ( H ) = C N ( H ) γ von oben also D P ( H ) = C γ N ( H ) γ − 1 D N . Integration der obigen Kontinuitätsbedingung mit dieser Definition von D P bringt uns (irgendwann) zu einem Endergebnis,

N ( H ) = N 0 ( 1 − γ − 1 γ ⋅ M G H T 0 )

und da Temperatur ist T = P / N , die höhenabhängige Temperatur ist

T ( H ) = P ( H ) / N ( H ) = C N ( H ) γ − 1 = T 0 − ( γ − 1 γ ) M G H .

Wir sehen also, dass der durch die Schwerkraft induzierte Druckgradient einen Temperaturgradienten erzeugt : Je höher Sie in der Box gehen, desto kälter wird das Gas.

Der Grund, warum die Atmosphäre weiter oben kälter ist, liegt darin, dass das System unten durch die Absorption von Sonnenenergie erwärmt wird und oben strahlt.

Ihr Denken ist gesund. Thermisches Gleichgewicht für ein isoliertes Gas (keine Energie rein/raus an der Grenze) in einem Gravitationsfeld bedeutet Wärmeenergie + Gravitationsenergie = Konstante pro Einheit von Gasmaterial (Mol, kg usw.). Daher ist die Temperatur am Boden der Kolonne tatsächlich höher als am Kopf der Kolonne. Um dies mit dem Billardkugel-Gasmodell zu veranschaulichen, bedenken Sie, dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt jede sich nach oben bewegende Billardkugel kinetische Energie (Temperatur) in potenzielle Gravitationsenergie überträgt und sich verlangsamt, und jede sich nach unten bewegende Kugel beschleunigt (heißer) wird und sich somit im Gleichgewicht befindet Es gibt einen thermischen Gradienten.

Wird die Temperatur eines idealen Gases in einem Gravitationsfeld in größerer Höhe niedriger sein?
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