Zusammenhang zwischen Teilchenzahlen und Stößen zwischen Gasmolekülen in einem geschlossenen Behälter

Die Formel für die mittlere freie Weglänge für Gaspartikel hängt nicht nur von der Dichte ab, sondern auch von der „Größe“ der Partikel. Mit abnehmender Größe sinkt die Wahrscheinlichkeit einer Kollision.

Wenn Sie den mittleren freien Weg und die durchschnittliche Geschwindigkeit haben, dann ergibt der Weg dividiert durch die Geschwindigkeit die mittlere freie Zeit für Kollisionen pro Teilchen.

Verfolgen wir ein einzelnes kugelförmiges Teilchen, das sich in einem idealen Gas aus identischen Teilchen bewegt:

Angenommen, unser interessierendes Teilchen hat einen Durchmesser$d$und eine konstante Durchschnittsgeschwindigkeit$\bar v_x$weil das Gas eine konstante Temperatur hat, dann nach einiger Zeit$t$es wird eine zylindrische Kollisionsbahn mit dem Volumen ausgefegt haben$V$:

$$V\ =\ (\text{base of cylinder})(\text{height of cylinder})\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)$$

Um die Anzahl der Teilchen zu zählen, auf die unser interessierendes Teilchen gestoßen ist, dh die Anzahl der Kollisionen, die es in dieser Zeit hatte, müssen wir nur mit der Dichte multiplizieren:

$$\small \text{number of collisions}\ =\ \text{(volume swept out by our particle)} \times \text{(the number of particles per unit volume)}$$

Setzen Sie das Ergebnis aus der ersten obigen Gleichung und Terme aus dem idealen Gasgesetz ein :

$$\large \text{number of collisions}\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)\ \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

Teilen Sie beide Seiten durch$t$und Ersetzen des Ausdrucks für die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Gasteilchens ,$\bar v_x = \sqrt{8k_B T/ \pi m}$ergibt unsere Endgleichung :

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

Oder in Druck ausgedrückt, unter Verwendung des idealen Gasgesetzes:

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{P}{RT} \right)$$

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Quellenanmerkungen:

• Diese Ableitung basiert auf dem Artikel „Kollisionshäufigkeit“ in Chemistry Libretext sowie Kursreferenzdokumenten einer Stanford Aeronautics & Astronautics-Klasse „AA210 – Fundamentals of Compressible Flow“
• Das obige Bild stammt aus dem oben erwähnten Artikel „Kollisionshäufigkeit“ in Chemistry Libretext

Sie mögen fragen: „Warum ist die Basis des ausgekehrten Zylinders?$\pi d^2$?" Es ist die effektive Kollisionsfläche unter Berücksichtigung der Größe der "Ziel"-Partikel. Siehe das folgende Bild aus dem HyperPhysics-Artikel über "Mean Free Path" (CR Nave, Georgia State University):

Für ein ideales Gas ist PV = nRT.

Der Druck ist proportional zur Anzahl der Kollisionen, denen jedes Gasmolekül ausgesetzt ist – nicht nur die Kollisionen mit Wänden, sondern auch die Kollisionen mit anderen Gasmolekülen. Daher können Sie in verschiedenen Höhen unterschiedliche Luftdrücke haben, obwohl es keine "Wände" gibt.