Gleichverteilungssatz für das zweite Moment der Energie

Das Gleichverteilungstheorem bietet eine bequeme Möglichkeit, eine Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator eines idealen Gases und der Temperatur des Systems abzuleiten. Für ein extrem relativistisches ideales Gas wird die kinetische Energie eines einzelnen Teilchens durch die Formel angegeben

H = C P X 2 + P j 2 + P z 2 .

Dann kann man den Durchschnitt schreiben

⟨ H ⟩ = ⟨ P X ∂ H ∂ P X ⟩ + ⟨ P j ∂ H ∂ P j ⟩ + ⟨ P z ∂ H ∂ P z ⟩ = 3 k B T

wobei die letzte Gleichheit aus der Gleichverteilungsformel folgt.

Ist es möglich, eine ähnliche Beziehung für das zweite Moment der Energie zu erhalten? ⟨ H 2 ⟩ ?

Antworten (1)

Ähnlich der Formel

⟨ P X ∂ H ∂ P X ⟩ = k B T ,
es besteht folgender Zusammenhang
⟨ P X ∂ H 2 ∂ P X ⟩ = 2 k B T ⟨ H ⟩ + 2 ( k B T ) 2 . ( 1 )
Für den Hamiltonoperator eines ultrarelativistischen Teilchens haben wir
H 2 = 1 2 ( P X ∂ H 2 ∂ P X + P j ∂ H 2 ∂ P j + P z ∂ H 2 ∂ P z )
Zusammen mit ⟨ H ⟩ = 3 k B T , das gibt
⟨ H 2 ⟩ = 12 ( k B T ) 2 .

Danke schön. Haben Sie eine Referenz, wo ich die zweite Identität nachschlagen kann?
@kaffeeauf, ich habe keine Referenz. Ich habe es selbst abgeleitet. Wissen Sie, wie man eine Beziehung herleitet für < P X ∂ H / ∂ P X > ? Die gleiche Methode ergibt eine Beziehung für H 2 .
Die Formel (1) ist allgemein. Es ist auf jeden vernünftigen Hamiltonian anwendbar H .
Gleichverteilungssatz für das zweite Moment der Energie
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