Lagrangesche Beschreibung der Brownschen Bewegung?

Ich interessiere mich für die Existenz einer Lagrange-Feldtheorie-Beschreibung der Bronwnschen Bewegung. Gibt es so etwas? Gegeben ein Teilchen mit etwas Spin σ , dem ein Lagrange zugeordnet ist L σ (was unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen Klein-Gordon für erzeugt σ = 0 usw.) gibt es eine Möglichkeit, Brownsche Typfreiheiten in dieser Beschreibung zuzulassen? Hoffentlich ist eine solche stochastische Freiheit in der Lagrange-Beschreibung erlaubt.

Dies ist keine Antwort auf Ihre Frage! Vielleicht möchten Sie einen Blick auf die Feynman-Kac-Formel werfen.
Nehmen Sie aus dem, was bereits von anderen gesagt wurde, die Partitionsfunktion Z = ∫ D X e S (im QM ein " ich / ℏ " tritt auch ein) wo die Aktion S = ∫ 0 T D T L Und L ist die "Lagrange", oft von der Form X ˙ 2 . Dass es sich um eine Lagrangefunktion handelt, gilt nur für die semiklassische Näherung, dh für die Trajektorie, die keine Fluktuationen aufweist. Sie könnten auch am Malliavin-Kalkül interessiert sein, obwohl ich ihn noch nie in der Physik verwendet gesehen habe. Da es Variationsrechnung mit stochastischem Zeug sein soll, könnte es verwandt sein?
Danke, @amlrg. Ich bin dem Malliavin-Kalkül schon früher im Zusammenhang mit Variationsansätzen für PDE begegnet, beispielsweise mit L 1 Messdaten rechts. Daran hatte ich in diesem Zusammenhang allerdings noch nicht gedacht
Schlagen Sie das Caldeira-Leggett-Modell nach .

Antworten (1)

Die Brownsche Bewegung X ( T ) ist nicht differenzierbar, also eine bestimmte Trajektorie X ( T ) kann eine Aktion nicht extremisieren S was eine Funktion von wäre X ( T ) und seine Ableitung, X ˙ ( T ) , da die Ableitung nicht einmal wohldefiniert und kein Ausdruck des Typs ist ∫ [ X ˙ ( T ) ] 2 D T , der übliche kinetische Begriff in der Aktion, divergiert. (Siehe z. B. Mitte von Seite 2 dieses Papiers , um die Aussage zu sehen, dass es auch keine Lagrange-Funktion gibt. Die Arbeit tut ihr Bestes, um etwas zu konstruieren, das "so nah wie möglich" an der normalen Lagrange-Formulierung ist.)

Wenn Sie jedoch die Feldtheorie erwähnen, ist es interessant, darauf hinzuweisen, dass die typischen Trajektorien X ( T ) die zu Feynmans Pfadintegralberechnung der gewöhnlichen Quantenmechanik beitragen, ähneln den Brownschen Trajektorien sehr stark. Aber das Ausmaß der Zickzackbewegung wird durch die Unschärferelation und die Plancksche Konstante bestimmt, nicht durch einstellbare Stöße mit den Molekülen einer Flüssigkeit usw. Es gibt auch viele andere Unterschiede in der physikalischen Interpretation.

Danke @Lubos, ich hatte gehofft, dass es einen Wiener-Khinchin-Satz (wie Page-Lampard für nicht stationär) geben könnte, der auf gebunden angewendet werden könnte ∫ X ˙ ( T ) 2 D T , aber vielleicht nicht! Ich dachte, man könnte sich das Quantenvakuum als eine Art Flüssigkeit vorstellen (indem man eine Art Zerlegung beispielsweise des Euler-Heisenberg-Lagrangian in Maxwell + Magfluid durchführt), in der wir ein Feld einführen, dessen Anregungen zu einer Art Brownian führen Bewegung.
Das sind interessante Forschungsprojekte, finde ich, keine Fragen zur etablierten Wissenschaft. ;-)
Mir ist klar, dass dies über ein Jahr später ist, aber ich möchte einen Kommentar hinzufügen. Die Brownsche Bewegung ist nicht klassisch differenzierbar, daher divergiert der Term der kinetischen Energie. Es wurde jedoch in verschiedenen verfügbaren Artikeln gezeigt, dass die Browninan-Bewegung fraktional differenzierbar ist und fraktionale Ableitungen mit der fraktalen Dimension einer nicht rektifizierbaren Kurve in Beziehung stehen. Es kann möglich sein, eine endliche kinetische Energie unter Verwendung von Bruchrechnungen zu berechnen, was eine Lagrange-Funktion für die Brownsche Bewegung ermöglichen würde.
Das ist ein sehr interessanter Vorschlag.
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