Ich bin ein Mathematikstudent mit null körperlicher Intuition. In meinem Kurs haben wir gelernt, dass die Brownsche Bewegung verwendet werden kann, um die Lösungen für bestimmte PDEs zu konstruieren, einschließlich der Laplace-Gleichung und der Wärmegleichung.
Für die Laplace-Gleichung, um die Lösung zu finden in einem begrenzten Bereich mit gegebenen Randbedingungen an , können Sie eine Brownsche Bewegung bei starten und nehmen Sie die Erwartung über die Austrittsverteilung (d. h. den Wert der Grenzdaten an dem Punkt, an dem der BM zum ersten Mal auftrifft ).
Für die Wärmegleichung und ähnliche PDE können Sie die Feynman-Kac-Formel verwenden.
Diese beiden Gleichungen haben physikalische Interpretationen, wie die Gleichung für einen stationären Zustand und die Gleichung für Wärme. Außerdem können Sie sich die Brownsche Bewegung als Diffusion vorstellen. Angesichts dessen (und der Tatsache, dass Feynman Physiker war ...) scheint es einige physikalische, heuristische Gründe zu geben, warum diese Lösungsmethoden funktionieren. Die Beweise, die ich gelernt habe, sind nicht besonders aufschlussreich.
Was ist diese physikalische Intuition für diese Lösungsformeln?
Diese Frage ist schwer zu beantworten, denn „Intuition“ ist subjektiv.
Wenn Sie jedoch über die Definition der Brownschen Bewegung (und ihre Auswirkungen) und beispielsweise die Laplace-Gleichung nachdenken, sollten Sie in der Lage sein, eine allgemeine Übereinstimmung zu erkennen.
Für Brownian Motion ist der Zustand bei hängt nur vom aktuellen Zustand ab . Daraus wissen Sie, dass die Varianz ( Moment) ist Null.
Aber genau das besagt auch die Laplace-Gleichung (für diskrete Systeme).
Tatsächlich ist diese Korrespondenz ein spezifisches Beispiel einer größeren Klasse von stochastischen Prozessen (Weiner-Prozess), die verwendet werden können, um eine Vielzahl von PDEs (Ito-Kalkül) zu lösen.
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