Anzahl g(T)g(T)g(T) relativistischer Freiheitsgrade als Funktion der Temperatur TTT

Beachten Sie zunächst, dass die von Ihnen verwendete Gleichung nur gültig ist, wenn sich alle relativistischen Teilchen im thermischen Gleichgewicht befinden. Die allgemeinere Gleichung, die Partikel mit unterschiedlichen Temperaturen zulässt, ist

$$g(T) = \sum_B g_B\left(\frac{T_B}{T}\right)^4 + \frac{7}{8}\sum_F g_F\left(\frac{T_F}{T}\right)^4$$ Wo $T$ist die Photonentemperatur und $T_B$, $T_F$sind die Temperaturen jedes Bosons und Fermions.

Die Freiheitsgrade für alle Partikel des Standardmodells sind in der folgenden Tabelle aufgelistet (Quelle: http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/cosmology/Cosmo6.pdf ):

Bei Temperaturen$T\sim 200\;\text{GeV}$, alle Teilchen sind vorhanden, relativistisch und im thermischen Gleichgewicht, so finden wir

$$g(T) = 28 + \frac{7}{8}\cdot 90 = 106.75$$ Wenn $T\sim 1\;\text{GeV}$, die Temperatur ist unter die Ruheenergie des gefallen $t$, $b$, $c$, $\tau$, $W^+$, $W^-$, $Z^0$, Und $H^0$Teilchen, daher sind diese nicht mehr relativistisch (und werden vernichtet) und wir müssen sie aus der Gleichung herausnehmen. Uns bleibt übrig $$g(T) = 18 + \frac{7}{8}\cdot 50 = 61.75$$ Wenn $T$fällt nach unten $100\;\text{MeV}$, die verbleibenden Quarks und Gluonen sind in nicht-relativistischen Hadronen eingeschlossen, und die Myonen sind vernichtet. Übrig bleiben also Photonen, Elektronen, Positronen, Neutrinos und Antineutrinos $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 10 = 10.75$$ Bisher befanden sich alle relativistischen Teilchen im thermischen Gleichgewicht. Da sinkt jedoch die Temperatur um $1\;\text{MeV}$, entkoppeln sich die Neutrinos und bewegen sich frei, was bedeutet, dass ihre Temperatur beginnt, von der Photonentemperatur abzuweichen. Bei $T < 500\;\text{keV}$, die Elektronen und Positronen sind nicht mehr relativistisch, also bleiben nur die Photonen und Neutrinos übrig, und $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 6\left(\frac{T_\nu}{T}\right)^4,$$ Wo $T_\nu$ist die Neutrinotemperatur. Die Berechnung erfordert etwas Arbeit.

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik impliziert, dass die Entropiedichte$s(T)$wird von gegeben

$$s(T) = \frac{\rho(T) + P(T)}{T},$$ Wo $\rho$ist die Energiedichte und $P$der Druck. Unter Verwendung der Fermi-Dirac- und Bose-Einstein-Verteilungen findet man das für relativistische Teilchen $$\rho(T) = \begin{cases} \dfrac{g_B}{2}a_B\, T^4&\text{bosons}\\ \dfrac{7g_F}{16}a_B\, T^4&\text{fermions} \end{cases}$$ Und $P = \rho/3$, so dass $s(T) = 4\rho(T)/3T$. Betrachten wir nun die Entropiedichte der Photonen und der Elektronen und Positronen bei hohen Temperaturen, wenn sie noch relativistisch sind: $$s(T_\text{high}) = \frac{2}{3}a_B\,T_\text{high}^3\left(2 + \frac{7}{8}\cdot 4\right) = \frac{4}{3}a_B\,T_\text{high}^3\left(\frac{11}{4}\right).$$ Bei niedrigen Temperaturen werden die Elektronen und Positronen nicht-relativistisch, die meisten vernichten sich und die verbleibenden Teilchen haben daher einen vernachlässigbaren Beitrag zur Entropie $$s(T_\text{low}) = \frac{4}{3}a_B\,T_\text{low}^3\,.$$ Das thermische Gleichgewicht impliziert jedoch, dass die Entropie in einem mitbewegten Volumen konstant bleibt: $$s(T)a^3 = \text{constant}.$$ Auch die Temperatur der Neutrinos sinkt ab $T_\nu \sim 1/a$nachdem sie sich entkoppeln. Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, finden wir $$\left(\frac{T_\text{low}}{T_{\nu,\text{low}}}\right)^3 = \frac{11}{4} \left(\frac{T_\text{high}}{T_{\nu,\text{high}}}\right)^3.$$ Bei hohen Temperaturen befinden sich die Neutrinos noch im thermischen Gleichgewicht mit den Photonen, dh $T_{\nu,\text{high}}=T_\text{high}\,$, so erhalten wir schließlich $$T_\nu = \left(\frac{4}{11}\right)^{1/3}T$$ bei niedrigen Temperaturen. Deshalb, $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 6\left(\frac{4}{11}\right)^{4/3} = 3.36.$$ Eine ausführlichere Behandlung finden Sie unter demselben Link, von dem ich die Tabelle genommen habe.