Warum die Temperatur sinkt, wenn sich das Universum ausdehnt

Generell kann man nicht sagen, ob die Energie in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) erhalten bleibt. Es gibt mehrere subtile Punkte über die Definition der Energie des Gravitationsfeldes und wie dies ein Konzept der Gesamtenergie (einschließlich Gravitationsenergie) einführen könnte, jedoch werde ich hier nur die Energie des Materieinhalts diskutieren.

In manchen Fällen kann man nachweisen, dass die Gesamtenergie des Materieinhalts tatsächlich erhalten bleibt. Der Gesamtenergie-Impuls-Tensor (EMT)$T_{\mu\nu}$befriedigen muss

$$\nabla_\mu{}T^\mu{}_\nu = 0.$$ Diese Bedingungen stammen aus den Bianchi-Identitäten zusammen mit den Einstein-Gleichungen. Gegeben sei ein zeitähnliches Vektorfeld $v^\mu$Es ist möglich, den Energie-Impuls-Fluss durch die Schieferung definiert durch zu definieren $v^\mu$als $P^\mu = T^{\mu\nu}v_\nu$(nicht alle zeitähnlichen Vektorfelder definieren eine globale Blätterung, aber ich werde diesen Punkt hier ignorieren).

Das Vektorfeld$P^\mu$hat seine Divergenz gegeben durch

$$\nabla_\mu{}P^\mu = \nabla_\mu{}T^{\mu\nu}v_\nu + T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_{(\mu}{}v_{\nu)},$$ wobei die Klammern den symmetrischen Teil darstellen und die letzte Gleichheit aus der Symmetrieeigenschaft der EMT stammt. Wenn aus irgendeinem Grund $\nabla_\mu{}P^\mu = 0$, dann garantiert der Satz von Stoke (plus einige Bedingungen an der Mannigfaltigkeit oder an der EMT im Unendlichen), dass die Gesamtenergie erhalten bleibt, dh $$\left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_1} = \left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_2},$$ Wo $\gamma$ist die Determinante der Metrik, die auf die durch definierte räumliche Hyperfläche projiziert wird $v^\nu$Und $t_1, t_2$sind zwei Etiketten, die zwei verschiedene Hyperflächen definieren.

Wenn$v_\mu$ist ein Killing-Vektorfeld, das es erfüllt

$$\mathcal{L}_v g_{\mu\nu} = n^\alpha\nabla_\alpha{}g_{\mu\nu} + 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 0,$$ wobei wir die kovariante Ableitung kompatibel mit verwendet haben $g_{\mu\nu}$. Dies zeigt, dass bei einem zeitähnlichen Killing Field die Gesamtenergie erhalten bleibt, jedoch ist die Umkehrung nicht wahr, dh die folgende Aussage ist nicht wahr : Wenn der Gesamtenergieimpuls erhalten bleibt, dann gibt es ein zeitähnliches Killing Field.

In unserem aktuellen kosmologischen Modell wird das Universum (bei nullter Ordnung) durch eine Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW)-Metrik beschrieben, die keinen zeitähnlichen Killing-Vektor besitzt. Aus diesem Grund wird die Energie eines strahlungsähnlichen Fluids nicht erhalten, aus der direkten Berechnung der EMT-Divergenz in einem FLRW-Modell, das wir haben

$$\dot{\rho} + 3H(\rho+p) = 0,$$ Wo $H=\dot{a}/a$ist die Hubble-Funktion, $a$der Skalierungsfaktor, $\dot{f} = v^\mu\partial_\mu{}f$die zeitliche Ableitung einer Skalarfunktion $f$, die EMT ist gegeben durch $T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu + p\gamma_{\mu\nu}$, $v_\mu$ist das Feld, das die Flüssigkeitsströmung darstellt, $\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + v_{\mu}v_{\nu}$ist der Raumprojektor, $\rho$die Energiedichte in diesem Rahmen und $p$der isotrope Druck auch in diesem Rahmen. Für eine konstante Zustandsgleichung ( $w = p/\rho$) wir haben $$\rho = \rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1+w)},$$ Wo $a_0$Und $\rho_0$sind der Skalenfaktor und die Energiedichte berechnet in einem räumlichen Abschnitt definiert durch $t_0$.

Aus der direkten Berechnung der Gesamtenergie (in diesem Rahmen) haben wir

$$\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}\rho = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma_0}\rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3w},$$ wo wir das verwendet haben $\dot{\sqrt{\gamma}} = 3H\sqrt{\gamma}$und deshalb, $\sqrt{\gamma} = \sqrt{\gamma_0}(a_0/a)^3$(Dies gilt im Allgemeinen für FLRW $3H$wird durch den Expansionsfaktor ersetzt $\Theta \equiv \nabla_\mu{}v^\mu$). Dies zeigt, dass für Strahlung ( $w=1/3$) nimmt die Energie mit ab $\propto a^{-1}$wenn sich das Universum ausdehnt. Beachten Sie auch, dass die Anwesenheit von dunkler Energie $w<-1/3$die Gesamtenergie erhöht, die zB die kosmologische Konstante hat $w=-1$dann geht die Energie wie $a^3$.

Für den Spezialfall Staub$w=0$die Gesamtenergie bleibt erhalten . Dies ist ein Beispiel für das, was ich zuvor gesagt habe, wir können eine vollständige Energieeinsparung ohne ein Killing Field haben, in diesem Fall geschieht dies, weil$T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu$ist orthogonal zu$\nabla_\mu{}v_\nu = \mathcal{K}_{\mu\nu} = H\gamma_{\mu\nu}$, Wo$\mathcal{K}_{\mu\nu}$ist die extrinsische Krümmung, zu der FLRW proportional ist$\gamma_{\mu\nu}$.

Schließlich können wir nur dann ein thermodynamisches Gleichgewicht haben, wenn wir ein zeitähnliches Killing Field haben, mit der Ausnahme, dass wir für Strahlung nur ein konformes Killing Field brauchen, um ein Gleichgewicht zu erreichen (siehe "Kinetische Theorie im expandierenden Universum" Bernstein 1988). In einem FLRW-Universum haben wir ein zeitähnliches konformes Killing Field und deshalb haben wir eine gut definierte Temperatur für Strahlung, die wir unter Verwendung der Bose-Einstein-Verteilung (unter der Annahme eines kinetischen Gleichgewichts) erhalten$T \propto a^{-1}$, deshalb bleibt aus thermodynamischer Sicht die Gesamtenergie nicht erhalten, die Temperatur sinkt, wenn sich das Universum ausdehnt.

Hier ist die Antwort, die Ludwig Boltzmann 1884 gegeben hat:

Aus Gründen der Vollständigkeit kann die Energiedichte elektromagnetischer Strahlung geschrieben werden als$U(T,V)=u(T)V$. Aus der klassischen Elektrodynamik wissen wir außerdem, dass der Druck ein Drittel der Energiedichte ist,$p(T)=u(T)/3$, die beispielsweise durch Verfolgen des Maxwell-Spannungstensors folgt. Wenn wir annehmen, dass das chemische Potential verschwindet,$\mu=0$(das ist schwer zu erraten: Boltzmann kannte nicht einmal Photonen ...), dann ist (durch Eulers Gleichung) die Energie gegeben$U=TS-PV$, und daher

$$S=\frac{U+PV}{T}=\frac{4}{3}V\frac{u(T)}{T} \ .$$ Als nächstes vom Differential ${\rm d}F=-S\,{\rm d}T-P\,{\rm d}V$folgt der Maxwell-Beziehung $$\Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T \ ,$$ und einfügen, was wir wissen $P(T)$Und $S(T,V)$führt zu $$\frac{1}{3}u'(T) = \Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T = \frac{4}{3}\,\frac{u(T)}{T} \ .$$ Diese Differentialgleichung für $u(T)$ist leicht zu lösen und führt zu $u(T)=aT^4$, mit einigen konstanten $a$– und so leitete Boltzmann das zuvor von Stefan experimentell entdeckte Gesetz ab.

Aber wir kennen jetzt auch die Entropie:$S(T,V)=\frac{4}{3}aVT^3$.

Pointe: Bei der adiabatischen Expansion des Universums bleibt die Entropie konstant. Daher das Produkt$VT^3$konstant bleiben muss, und somit nimmt die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung umgekehrt mit dem Skalenfaktor des Universums ab.