Unsicherheit bei der Temperaturmessung mit einem an ein Bad gekoppelten Oszillator

Ich denke an einen harmonischen Oszillator, der an ein Bad (zB ein Gas) gekoppelt ist. Der Oszillator unterliegt einer Dämpfung und einer schwankenden Langevin-Kraft

M X ¨ + M γ X ˙ + k X = F F l u C T ,

Wo X ( T ) ist die Stellung, M die Masse und k die Federkonstante des Oszillators. γ ist die Dämpfungskonstante und F F l u C T die schwankende Kraft, die erfüllt ⟨ F F l u C T ( T ) F F l u C T ( T ' ) ⟩ = 2 M γ k B T δ ( T − T ' ) . Hier T ist die Badtemperatur und k B die Boltzmann-Konstante. Der Oszillator soll sich im thermischen Gleichgewicht mit dem Bad befinden und aufgrund der Schwankungen wird die Amplitude der Schwingung über die Zeit in einer Zeitskala in der Größenordnung von schwanken 1 / γ .

Ziel ist es, die Badtemperatur zu messen T , gegeben eine Zeitspur der Oszillatorposition X ( T ) der Messdauer τ . Ich weiß, dass die Badtemperatur aus der Varianz der Position berechnet werden kann

T = k ⟨ X 2 ( T ) ⟩ τ → ∞ k B .

Allerdings, wenn die Messdauer τ endlich ist, habe ich einen Fehler bei der Temperaturmessung, weil die Schwingungsamplitude schwankt.

Was ist die Messunsicherheit Δ T als Funktion der Messdauer τ und Dämpfungsrate γ .

Hinweis: Messungen deuten darauf hin, dass die Standardabweichung der Temperaturmessung 1 % beträgt τ ≈ 2000 ( γ / 2 π ) und 5% für τ ≈ 100 ( γ / 2 π ) . Diese Ergebnisse sind jedoch rein empirisch und ich würde gerne verstehen, ob dies aus statistischer Sicht sinnvoll ist.

Ist dies ein Duplikat von oder sehr ähnlich zu physical.stackexchange.com/questions/279700
Es ist wahr, dass diese Frage meiner ähnlich ist, in dem Sinne, dass wir eine Badtemperatur aus der Bewegung eines harmonischen Oszillators messen wollen. Die Fragen haben jedoch einen etwas anderen Blickwinkel. Er betrachtet die Messung der Temperatur mit einer sehr kurzen Zeitspur ( τ < γ − 1 ). Ich nehme längere ( τ ≫ γ − 1 ) und interessieren sich für die Standardabweichung der Temperaturmessung. Besonders der letzte Punkt (der Fehler) wird in der anderen Frage nicht wirklich angesprochen (zumindest soweit ich es verstehe).

Antworten (1)

Es stellt sich wie folgt heraus:

Angenommen, Sie haben eine lange Spur der Länge τ in die gehackt wird N Stücke von Dauer Δ τ = τ / N . Die Energieschätzung für jeden Abschnitt ist E ich . Der Mittelwert aller Schätzungen ist E ¯ = ∑ ich E ich / N . Die Energie ist Boltzmann-verteilt, weil wir einen thermischen Zustand haben. Daher ist die Varianz für jede Messung σ E ich 2 = ( k B T ) 2 ≈ E ¯ 2 , Wo T ist die Badtemperatur. Die Schwingungsamplitude ändert sich auf einer Zeitskala Δ T = 1 / γ und deshalb N = Δ T / Δ τ kurze Spuren sind korreliert. Dann erhalten wir für die Varianz der gemittelten Energie:

σ E ¯ 2 = 2 N N σ E 2 = 2 E ¯ 2 γ τ .

Der Clou bei dieser Herleitung ist, dass es Korrelationen zwischen den kurzen Abschnitten der Zeitspur gibt, die keine neuen Informationen über die Energie liefern.

Unsicherheit bei der Temperaturmessung mit einem an ein Bad gekoppelten Oszillator
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