Wie kann ich die Energieabhängigkeit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung explizit machen?

Du musst die Differenzen berücksichtigen. Die eigentliche Gleichung ist

$$f_\text{MB}(\mathbf{v})\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z.$$ Wenn wir zu sphärischen Koordinaten wechseln, erhalten wir $$\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = v^2\sin\theta\,\text{d}\theta\,\text{d}\varphi\,\text{d}v.$$ Integrieren $\theta$Und $\varphi$, das wird $$v^2\,\text{d}v\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta = 4\pi v^2\,\text{d}v,$$ also haben wir $$f_\text{MB}(v)\,\text{d}v = 4\pi n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v.$$ Jetzt können Sie sich ändern $v$Zu $E$. Verwenden $$\text{d}E = mv\,\text{d}v = \sqrt{2mE}\,\text{d}v,$$ Sie erhalten schließlich $$f_\text{MB}(E)\,\text{d}E = 2n\left(\frac{1}{k_BT}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{E}{\pi}}e^{-E/k_BT}\,\text{d}E.$$

Die Verteilungsfunktion ermöglicht es, durch Summieren eine Art von Wahrscheinlichkeit zu finden$f_vdv$ob es die Verteilung über Geschwindigkeiten ist oder$f_EdE$wenn es um Energien geht. Eins kann in ein anderes umgewandelt werden als:

$$f_v(v) dv=f_v(E) v dE,$$

seit$dv=vdE$Wenn$E$ist eine Funktion von$v$

Unter Berücksichtigung$E=\frac{mv^2}{2}$, bekommt man:

$$f_v(v)dv=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}} dE \Rightarrow f_E (E)=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}},$$