Was ist die Herleitung für die exponentielle Energiebeziehung und wo gilt sie?

Sehr oft, wenn Leute eine Entspannungszeit angeben τ Verwandtschaft , τ rot-kin , usw. Sie denken an einen Kontext, in dem die Energieentspannung vor sich geht ∝ e − T / τ . Verwandte ist ein Ansatz, um es zu berechnen

τ = E ( 0 ) / ( D E D T ) E = 0 .

Beides ist von der Betrachtung der Dynamik her gerechtfertigt

D E D T = − 1 τ ( E − E ( 0 ) ) .

Meine Frage ist: Was führt grundsätzlich zu dieser Beziehung?

Ich vermute, es bezieht sich auf eine Hauptgleichung, die die Form " X ˙ = A X + B ". Aber ich bin mir nicht sicher, wie sich die Freiheitsgrade in der Master-Gleichung in die Zeitabhängigkeit des makroskopischen Energiewerts übersetzen. Es wird für einige Bedingungen auch irgendwie eine Ableitung aus der Boltzmann-Gleichung geben, aber was ist das allgemeine Argument und wo funktioniert es?

Zur Boltzmann-Gleichung: Die Relaxationszeit-Näherung an den Boltzmann-Stoßterm wird als BGK- Näherung bezeichnet und findet breite Anwendung. Aber ich bin mir nicht sicher, was genau seine Gültigkeitsbedingungen sind. Ausgehend von der BGK-Gleichung ist es einfach, Ihre Energiegleichung unter der Annahme zu erhalten, dass äußere Kräfte verschwinden (andernfalls gibt es einen Leistungseingangsterm auf der rechten Seite).

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Diese Art des exponentiellen Zerfalls in Richtung "Gleichgewicht" kann abgeleitet werden, wenn man sich einen Markov-Prozess ansieht. In diesem Fall, wenn wir anrufen S T der Zustand des Systems zu diesem Zeitpunkt T Und S T + 1 der Staat zur Zeit T + 1 , hat man für die Evolution:

S T + 1 = T S T

Wo T heißt Übergangsmatrix. Dies impliziert das S T = T T S 0 . Die Idee ist dann, die Menge der Eigenzustände einzuführen E ich so dass T E ich = λ ich E ich . Der Satz von { E ich } ich = 1... ist ein mathematischer Satz von Vektoren und sie müssen nicht immer einem Wahrscheinlichkeitszustand entsprechen. In der Tat, da die Lösung für jede gegebene eindeutig ist S 0 es impliziert, dass es nur einen solchen Wahrscheinlichkeitszustand geben kann T E P = E P dh so dass λ P = 1 . Nun, ausgehend von jedem Zustand S 0 = ∑ ich S ich 0 E ich , hat man dann S T = ∑ ich S ich 0 λ ich T E ich = S e Q + ∑ ich ≠ P S ich 0 λ ich T E ich . T ist eine positiv definite Matrix und in der Spektraltheorie kann man das zeigen λ P = 1 ist der größte Eigenwert, es bedeutet also, dass alle anderen Eigenwerte kleiner als sind 1 . Lassen Sie uns anrufen λ 2 der zweithöchste Eigenwert von T , wir haben dann:

S T − S e Q ≈ S 2 0 λ 2 T ≈ S 2 0 e T ln ⁡ λ 2 ∼ e − T / τ 2

Wo τ 2 = − 1 / ln ⁡ λ 2 .

Letztendlich ist die Idee, dass der Anfangszustand auf Eigenzustände projiziert werden kann, von denen nur einer physikalisch ist und zufällig den höchsten Eigenwert vom Wert 1 hat, dieser entspricht dem Gleichgewichtszustand.

Die Hauptannahme hier ist, dass die Dynamik markovisch ist.

Deine Ableitung gefällt mir. Doch wo ist die Begründung für S T + 1 = T S für unser physikalisches System? S ' ∝ S schleicht sich natürlich das exponentielle Verhalten ein.
Die Modellierung der Systemdynamik durch eine Markov-Kette ist in den meisten Fällen eine Annahme für kollektive Variablen. Meistens findet man aber auch Mikrovariablen, die einer Markov-Dynamik gehorchen. Der Satz von Liouville entspricht einer Markovschen Dynamik. Betrachtet man langsamere Kollektivvariablen, erzeugt diese mikroskopische Markov-Dynamik einen Gedächtniskern für die langsame Variable, der bei adiabatischer Trennung der Zeitskalen über ausreichend lange Zeit ein Markov-Verhalten zurückgibt.
Was ist ein Speicherkern? Ist es eine dynamikerzeugende Funktion, die im Vergleich zur Entwicklung der Markov-Variablen nicht einfach konstant ist?
Eine allgemeine Definition in diskreter Zeit dessen, was Speicherkern bedeutet, ist das S T = F ( S T − 1 , S T − 2 , . . , S T − M ) Wo M ist die Speichergröße.

Diese Form von D E / D τ ist nur gültig, wenn das System nicht zu weit vom Gleichgewicht entfernt ist und die Annahme einer linearen Antwort gültig ist. Die Tatsache, dass D E / D τ kommt auf den unterschied an E − E ( 0 ) allein ist eine Folge der Annahme einer linearen Reaktion.

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