max. Entropie = min. Energie?

Question

max. Entropie = min. Energie?

Hulkster

Wenn ein geschlossenes System eine submaximale Entropie hat, dann können wir davon ausgehen, dass wir theoretisch Energie entziehen können und das System somit in den Zustand maximaler Entropie geht und keine freie Energie verfügbar ist. Andererseits befindet sich jedes physikalische System tendenziell in einem minimalen Energiezustand im Sinne der inneren Energie.

Können wir also sagen, dass das Prinzip der maximalen Entropie gleich dem Prinzip der minimalen Energie ist ?

ACuriousMind

"(sub)Maximale Entropie" bedeutet nichts, es sei denn, Sie geben an, welche Variablen hier konstant gehalten und welche variiert werden.

Hulkster

@ACuriousMind Ich habe einmal einen Gastprofessor in einem Seminar unterbrochen und auf dasselbe hingewiesen. Er wurde sehr wütend.

ACuriousMind

Ich fürchte, das trägt jedoch wenig dazu bei, Ihre Frage klarer zu machen - es sei denn, Sie spezifizieren es, es ist nicht wirklich klar, wonach Sie hier fragen.

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max. Entropie = min. Energie?

"(sub)Maximale Entropie" bedeutet nichts, es sei denn, Sie geben an, welche Variablen hier konstant gehalten und welche variiert werden.
@ACuriousMind Ich habe einmal einen Gastprofessor in einem Seminar unterbrochen und auf dasselbe hingewiesen. Er wurde sehr wütend.
Ich fürchte, das trägt jedoch wenig dazu bei, Ihre Frage klarer zu machen - es sei denn, Sie spezifizieren es, es ist nicht wirklich klar, wonach Sie hier fragen.

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Maximale Entropie = minimale Energie genau dann, wenn man die richtigen Informationen über die physikalischen Bedingungen hinzufügt.

Was für jedes thermodynamische System bewiesen werden kann, ist, dass die Bedingung der maximalen Entropie bei fester innerer Energie und bei feststehenden verbleibenden umfangreichen Variablen (z. B. Volumen und Anzahl der Teilchen für ein typisches Fluidsystem) äquivalent ist zu der Bedingung der inneren Energie Minimum bei fester Entropie (und bei fest verbleibenden extensiven Variablen).

Wahrscheinlich erleichtert der Beweis das Verständnis dieser Dualität. Es kann in jedem guten Thermodynamik-Lehrbuch wie Callen's Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistic gefunden werden . Ich werde es unten zusammenfassen.

Zunächst sollte klar sein, dass Maximum oder Minimum als Bedingungen in Bezug auf eine oder mehrere Variablen gedacht sein sollten, die die internen Beschränkungen des Systems ausdrücken. Lassen $X$ geben eine einzelne Bedingungsvariable an.

Wenn die Entropie maximal ist bzgl $X$ , es ist ein Extremum und die Bedingung

{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{U} = 0

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U = 0$ hält. Aber eine wohlbekannte Identität partieller Ableitungen impliziert dies

U

$U$ muss Extremum sein bzgl

X

$X$ bei fest

S

$S$ :

Q = {\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} = - \frac{{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{U}}{{\frac{\partial S}{\partial U} |}_{X}} = 0, [1]

$Q=\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}=0,~~~~~~[1]$ seit

{\frac{\partial S}{\partial U} |}_{X} = \frac{1}{T}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X=\frac{1}{T}$ kann niemals Null sein.

Um das zu zeigen $U$ ist mindestens fest $S$ , Wenn $S$ ist maximal fest $U$ , müssen wir ein Zwischenergebnis ableiten. Wir haben

{\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ Wenn

{\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} = 0

$\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S=0$ . Dies ist eine Folge der Identität

{\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial U} |}_{X} {\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} + {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{U}}\right|_X \left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S + \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ .

Deshalb,

{\frac{\partial^{2} U}{\partial X^{2}} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{U} .

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U.$ Wir müssen die partielle Ableitung bzgl. auswerten

X

$X$ , konstant

U

$U$ des letzten Verhältnisses in Gleichung [

1

$1$ ]. Der Term mit der Ableitung des Nenners verschwindet, weil er mit multipliziert wird

{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U$ was Null ist (Extemum-Bedingung). So erinnern wir uns mit

{\frac{\partial^{2} U}{\partial X^{2}} |}_{S} = - \frac{{\frac{\partial^{2} S}{\partial X^{2}} |}_{U}}{{\frac{\partial S}{\partial U} |}_{X}} = - T {\frac{\partial^{2} S}{\partial X^{2}} |}_{U},

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}= -T\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U,$ was positiv ist, wenn das Extremum von

S

$S$ ist maximal.

Ich würde hinzufügen, dass eine ähnliche Max/Min-Dualität für die entsprechenden Legendre-Transformationen von Energie/Entropie gilt. Zum Beispiel (obwohl fast trivial) würde das Prinzip der minimalen freien Helmholtz-Energie dem Maximum der Legendre-Transformation der Entropie in Bezug auf die Energie entsprechen, $\tilde S(1/T,V,N) = S -\frac{U}{T}$ .

Matt · Answer 2

Matt

Ein geschlossenes System bleibt auf der gleichen Energie, während seine Entropie, wie Sie sagten, auf ihr Maximum ansteigt. Maximale Entropie ist daher minimale freie Energie, aber die Gesamtenergie wird nicht beeinflusst.

Hulkster

OK. Wenn das System also mit der Umgebung interagieren kann, wird es dann die freie innere Energie abführen, um den minimalen Energiezustand zu erreichen?

Matt

@Hulkster Nun, das gilt wohl auch für nicht-thermodynamische Systeme.

David Weiß

@Hulkster, der Entropiezustand Ihres Systems sagt etwas darüber aus, wie die Energie dieses Systems verteilt ist. Wenn die Energie gleichmäßig verteilt ist, steht auch bei einem Hochenergiesystem keine Energie für die Arbeit zur Verfügung. Tatsächlich benötigt eine Wärmekraftmaschine einen Temperaturunterschied (ungleichmäßig verteilte Energie), um Arbeit zu verrichten.

Matt

@DavidWhite Kann nicht mehr zustimmen.

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Hulkster

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GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

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Matt

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David Weiß

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